Центральный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а его стороны пересекают окружность.

Элементы центрального угла

1. Вершина угла:
   Совпадает с центром окружности.

2. Стороны угла:
   Радиусы окружности, исходящие из её центра.

3. Дуга, на которую опирается угол:
   Часть окружности, заключённая между точками пересечения сторон угла с окружностью.

Связь между центральным углом и дугой

Теорема:
Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается:

где:

• $OO$ — центр окружности,
• $AA$ и $BB$ — точки пересечения сторон угла с окружностью,
• $\backslash overset\{\backslash frown\}\{AB\}$ — дуга окружности.

Свойства центрального угла

1. Центральный угол и дуга:
   Центральный угол измеряется в тех же единицах, что и дуга (градусы или радианы).

2. Полный угол окружности:
   Полный центральный угол, охватывающий всю окружность, равен $360^{\circ }360^\backslash circ$ или $2\pi 2\backslash pi$ радиан.

3. Угол, соответствующий полуокружности:
   Центральный угол, опирающийся на полуокружность, равен $180^{\circ }180^\backslash circ$.

4. Пропорциональность углов и дуг:
   Центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны:

   $\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }COD,\text{если }=\mathrm{.}\backslash angle\; AOB\; =\; \backslash angle\; COD,\; \backslash quad\; \backslash text\{если\; \}\; \backslash overset\{\backslash frown\}\{AB\}\; =\; \backslash overset\{\backslash frown\}\{CD\}.$

Формулы

1. Длина дуги: Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу $\alpha \backslash alpha$, определяется по формуле:

   $L=2\pi r\cdot \frac{\alpha }{360^{\circ }},L\; =\; 2\backslash pi\; r\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash alpha\}\{360^\backslash circ\},$

   где $rr$ — радиус окружности, $\alpha \backslash alpha$ — центральный угол в градусах.

2. Площадь сектора: Площадь сектора, соответствующего центральному углу $\alpha \backslash alpha$, равна:

   $S=\pi r^2\cdot \frac{\alpha }{360^{\circ }}\mathrm{.}S\; =\; \backslash pi\; r^2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash alpha\}\{360^\backslash circ\}.$

Примеры

Пример 1: Вычисление длины дуги

Найдите длину дуги, если радиус окружности $r=7r\; =\; 7$ см, а центральный угол $\alpha =90^{\circ }\backslash alpha\; =\; 90^\backslash circ$.

Решение:

Подставим значения:

Ответ: $L=3.5\pi L\; =\; 3.5\backslash pi$ см.

Пример 2: Площадь сектора

Найдите площадь сектора окружности, если радиус $r=10r\; =\; 10$ см, а центральный угол $\alpha =60^{\circ }\backslash alpha\; =\; 60^\backslash circ$.

Решение:

Подставим значения:

Ответ: $S=\frac{50\pi }{3}{\text{см}}^{2}S\; =\; \backslash frac\{50\backslash pi\}\{3\}\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$.

Пример 3: Проверка равенства углов

Два центральных угла $\mathrm{\angle }AOB\backslash angle\; AOB$ и $\mathrm{\angle }COD\backslash angle\; COD$ опираются на дуги $=120^{\circ }\backslash overset\{\backslash frown\}\{AB\}\; =\; 120^\backslash circ$ и $=120^{\circ }\backslash overset\{\backslash frown\}\{CD\}\; =\; 120^\backslash circ$. Докажите, что углы равны.

Решение: Согласно свойству, центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны:

Ответ: Углы равны.

Задачи для закрепления

1. Найдите длину дуги окружности с радиусом $r=12r\; =\; 12$ см, если центральный угол равен $45^{\circ }45^\backslash circ$.
2. Вычислите площадь сектора окружности, если радиус $r=5r\; =\; 5$ см, а центральный угол равен $90^{\circ }90^\backslash circ$.
3. Докажите, что центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.

Заключение

Центральный угол — это ключевое понятие в геометрии окружности. Его свойства и формулы позволяют находить длины дуг, площади секторов и решать множество задач, связанных с окружностью. Понимание центрального угла упрощает анализ геометрических фигур и их характеристик.