Вписанный угол

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Элементы вписанного угла

1. Вершина угла:
   Точка, лежащая на окружности, в которой сходятся стороны угла.
2. Стороны угла:
   Прямые или лучи, проходящие через вершину угла и пересекающие окружность.
3. Дуга, на которую опирается угол:
   Часть окружности, заключённая между точками пересечения сторон угла с окружностью.

Основные свойства вписанного угла

1. Связь вписанного угла и дуги

Теорема:
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

где $\backslash overset\{\backslash frown\}\{AC\}$ — дуга окружности, на которую опирается угол $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$.

2. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

Свойство:
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны:

3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр

Свойство:
Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда равен $90^{\circ }90^\backslash circ$:

если $ABAB$ — диаметр окружности.

Различные положения вписанного угла

1. Угол внутри окружности:
   Обе стороны угла пересекают окружность.

2. Угол, касающийся окружности одной стороной:
   Одна сторона угла является касательной, а другая пересекает окружность.

Примеры

Пример 1: Нахождение вписанного угла

Дуга $ACAC$ окружности равна $100^{\circ }100^\backslash circ$. Найдите вписанный угол $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$, опирающийся на эту дугу.

Решение:

Ответ: $\mathrm{\angle }ABC=50^{\circ }\backslash angle\; ABC\; =\; 50^\backslash circ$.

Пример 2: Угол, опирающийся на диаметр

Диаметр $ABAB$ окружности. Найдите вписанный угол $\mathrm{\angle }ACB\backslash angle\; ACB$.

Решение: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ }90^\backslash circ$.

Ответ: $\mathrm{\angle }ACB=90^{\circ }\backslash angle\; ACB\; =\; 90^\backslash circ$.

Пример 3: Проверка равенства углов

В окружности даны два вписанных угла $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ и $\mathrm{\angle }ADC\backslash angle\; ADC$, опирающиеся на одну дугу $ACAC$. Докажите, что они равны.

Решение: Согласно свойству, все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны:

Ответ: Углы равны.

Задачи для закрепления

1. Найдите вписанный угол, если дуга, на которую он опирается, равна $120^{\circ }120^\backslash circ$.
2. Вписанный угол равен $45^{\circ }45^\backslash circ$. Найдите дугу, на которую он опирается.
3. Докажите, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ }90^\backslash circ$.

Заключение

Вписанный угол — это важное понятие в геометрии окружности. Его свойства позволяют решать задачи, связанные с дугами, центральными углами и расположением точек на окружности. Знание свойств вписанных углов помогает упрощать и анализировать многие геометрические задачи.