Начальные геометрические понятия

Геометрия — это раздел математики, изучающий фигуры, их свойства, взаимное расположение и размеры. Для изучения геометрии необходимо понимать основные понятия, которые не требуют доказательств, а принимаются как аксиомы.

Основные начальные понятия

Точка

Точка— это основное геометрическое понятие, которое не имеет размеров (длины, ширины, высоты).

Обозначается заглавными латинскими буквами: $AA$, $BB$, $CC$.

Прямая

Прямая — это бесконечная линия, которая не имеет толщины и проходит через любые две точки.

Обозначается двумя точками на прямой: $ABAB$, или одной маленькой буквой: $ll$.

• Свойства прямой:
  • Через две точки можно провести одну и только одну прямую.
  • Прямая бесконечна в обе стороны.

Отрезок

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками.

Обозначается: $ABAB$, где $AA$ и $BB$ — концы отрезка.

Длина отрезка — это расстояние между его концами.

Луч

Луч — это часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца.

Обозначается: $ABAB$, где $AA$ — начало луча.

Плоскость

Плоскость — это бесконечная поверхность, не имеющая толщины.

Обозначается латинскими буквами: $\alpha ,\beta ,\gamma \backslash alpha,\; \backslash beta,\; \backslash gamma$.

• Свойства плоскости:
  • Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость.
  • Плоскость бесконечна.

Угол

Угол — это фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

• Элементы угла:

  • Стороны угла — это лучи.
  • Вершина угла — это общая точка лучей.

• Обозначается: $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$, где $BB$ — вершина угла.

• Виды углов:

  • Острый угол: ,
  • Прямой угол: $90^{\circ }90^\backslash circ$,
  • Тупой угол: ,
  • Развёрнутый угол: $180^{\circ }180^\backslash circ$.

Основные аксиомы геометрии

1. Аксиома принадлежности:

   • Через две точки можно провести одну и только одну прямую.
   • Любая прямая состоит из множества точек.

2. Аксиома порядка:

   • Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

3. Аксиома параллельности:

   • Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Основные геометрические фигуры

1. Треугольник - фигура, образованная тремя точками, соединёнными отрезками. Обозначение: $\mathrm{△}ABC\backslash triangle\; ABC$.

2. Четырёхугольник - фигура, имеющая четыре вершины и четыре стороны.

3. Окружность - множество точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки (центра).

4. Радиус — расстояние от центра до любой точки окружности.

5. Прямоугольник, квадрат, ромб: Частные виды четырёхугольников, обладающие определёнными свойствами.

Примеры

Пример 1: Определение точки и прямой

Даны точки $AA$, $BB$, $CC$. Через какие точки можно провести прямую?

Ответ: Через любые две точки ($AA$ и $BB$, $BB$ и $CC$, $AA$ и $CC$) можно провести одну и только одну прямую.

Пример 2: Классификация углов

Найдите вид угла $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$, если его величина $120^{\circ }120^\backslash circ$.

Ответ: $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ — тупой угол.

Пример 3: Определение длины отрезка

Найдите длину отрезка $ABAB$, если координаты точек $A(2,3)A(2,\; 3)$ и $B(5,7)B(5,\; 7)$.

Решение: Используем формулу расстояния между точками:

Подставим координаты:

Ответ: Длина отрезка $AB=5AB\; =\; 5$.

Заключение

Начальные геометрические понятия, такие как точка, прямая, отрезок, плоскость, лежат в основе всей геометрии. Они не требуют доказательств, а служат основой для формулирования аксиом и изучения свойств фигур и пространственных отношений.