Четырёхугольник

Четырёхугольник — это геометрическая фигура, состоящая из четырёх сторон, четырёх углов и четырёх вершин.

• Вершины обозначаются заглавными буквами: $AA$, $BB$, $CC$, $DD$.
• Стороны — это отрезки, соединяющие вершины: $ABAB$, $BCBC$, $CDCD$, $DADA$.
• Диагонали — отрезки, соединяющие противоположные вершины: $ACAC$, $BDBD$.

Виды четырёхугольников

Общий четырёхугольник

• Стороны и углы могут быть произвольными.
• Сумма внутренних углов всегда равна $360^{\circ }360^\backslash circ$:$\alpha +\beta +\gamma +\delta =360^{\circ }\mathrm{.}\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; +\; \backslash gamma\; +\; \backslash delta\; =\; 360^\backslash circ.$

Параллелограмм

• Противоположные стороны равны и параллельны: $AB\parallel CDAB\; \backslash parallel\; CD$, $BC\parallel ADBC\; \backslash parallel\; AD$.
• Противоположные углы равны: $\alpha =\gamma \backslash alpha\; =\; \backslash gamma$, $\beta =\delta \backslash beta\; =\; \backslash delta$.
• Диагонали пересекаются и делятся пополам.
• Площадь:$S=a\cdot h,S\; =\; a\; \backslash cdot\; h,$где $aa$ — основание, $hh$ — высота.

Прямоугольник

• Противоположные стороны равны и параллельны.
• Все углы прямые ($90^{\circ }90^\backslash circ$).
• Диагонали равны и пересекаются в точке деления пополам.
• Площадь:$S=a\cdot b,S\; =\; a\; \backslash cdot\; b,$где $aa$ и $bb$ — длины сторон.

Ромб

• Все стороны равны: $AB=BC=CD=DAAB\; =\; BC\; =\; CD\; =\; DA$.
• Противоположные углы равны.
• Диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.
• Площадь:$S=\frac{d_1\cdot d_2}{2},S\; =\; \backslash frac\{d\_1\; \backslash cdot\; d\_2\}\{2\},$где $d_{1}d\_1$ и $d_{2}d\_2$ — длины диагоналей.

Квадрат

• Все стороны равны, все углы прямые.
• Диагонали равны, пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.
• Площадь:$S=a^2\mathrm{.}S\; =\; a^2.$

Трапеция

• Две противоположные стороны параллельны (основания), а две другие — не параллельны (боковые стороны).
• Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^{\circ }180^\backslash circ$.
• Средняя линия:$m=\frac{a+b}{2},m\; =\; \backslash frac\{a\; +\; b\}\{2\},$где $aa$ и $bb$ — основания.
• Площадь:$S=\frac{1}{2}\cdot (a+b)\cdot h,S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; (a\; +\; b)\; \backslash cdot\; h,$где $hh$ — высота.

Свойства четырёхугольников

1. Сумма углов:
   В любом четырёхугольнике сумма внутренних углов равна $360^{\circ }360^\backslash circ$.

2. Диагонали:

   • В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам.
   • В прямоугольнике и квадрате диагонали равны.
   • В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом.

3. Центр симметрии:
   Параллелограмм, прямоугольник, квадрат и ромб имеют центр симметрии.

Формулы для четырёхугольников

1. Площадь через диагонали (общий случай):

   $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \alpha ,S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; d\_1\; d\_2\; \backslash sin\; \backslash alpha,$

   где $d_{1}d\_1$, $d_{2}d\_2$ — диагонали, $\alpha \backslash alpha$ — угол между ними.

2. Периметр:

   $P=AB+BC+CD+DA\mathrm{.}P\; =\; AB\; +\; BC\; +\; CD\; +\; DA.$

Примеры

Пример 1: Площадь трапеции

Даны основания трапеции $a=10a\; =\; 10$ см, $b=6b\; =\; 6$ см, высота $h=4h\; =\; 4$ см. Найдите площадь.

Решение: Используем формулу площади:

Подставим значения:

Ответ: $S=32S\; =\; 32$ см².

Пример 2: Площадь ромба

Диагонали ромба равны $d_1=8d\_1\; =\; 8$ см, $d_2=6d\_2\; =\; 6$ см. Найдите площадь.

Решение: Используем формулу площади:

Подставим значения:

Ответ: $S=24S\; =\; 24$ см².

Пример 3: Проверка свойств параллелограмма

В параллелограмме $ABCDABCD$ стороны $AB=10AB\; =\; 10$ см, $BC=6BC\; =\; 6$ см, высота к стороне $ABAB$ равна $44$ см. Найдите площадь.

Решение: Площадь параллелограмма:

Подставим значения:

Ответ: $S=40S\; =\; 40$ см².

Задачи для закрепления

1. Найдите площадь квадрата со стороной $55$ см.
2. В прямоугольнике длины сторон равны $88$ см и $66$ см. Найдите его диагональ.
3. Найдите среднюю линию трапеции, если её основания равны $1212$ см и $88$ см.
4. В ромбе диагонали равны $1010$ см и $1212$ см. Найдите его периметр.

Заключение

Четырёхугольники — это обширный класс фигур с разнообразными свойствами. Знание формул для площади, периметра и диагоналей, а также их особенностей, позволяет решать множество задач в геометрии и прикладных науках.