Многоугольник

Многоугольник — это геометрическая фигура, состоящая из конечного числа прямолинейных отрезков, которые соединяются в вершины. Многоугольники играют важную роль в геометрии и используются для описания различных плоских фигур.

Определение многоугольника

Многоугольником называется фигура, которая состоит из множества точек, соединённых отрезками. Эти отрезки называются сторонами многоугольника, а их концы — вершинами. Многоугольник имеет замкнутую форму, то есть первая вершина совпадает с последней.

Классификация многоугольников

Многоугольники могут быть классифицированы по числу сторон:

Треугольник — многоугольник с 3 сторонами.
Четырёхугольник — многоугольник с 4 сторонами.
Пятиугольник — многоугольник с 5 сторонами.
Шестиугольник — многоугольник с 6 сторонами.
Семиугольник — многоугольник с 7 сторонами.
И так далее…

Если многоугольник имеет $n$ сторон, его называют $n$ -угольником.

Виды многоугольников

Правильные многоугольники

Правильным называется многоугольник, в котором все стороны равны между собой, а все углы одинаковы. Например, правильный треугольник (все стороны и углы одинаковы) и правильный квадрат (все стороны и углы равны).

Для правильного $n$ -угольника, углы между соседними сторонами равны $\frac{180^\circ \cdot (n-2)}{n}$ .

Неправильные многоугольники

Если хотя бы одна сторона или угол отличается от других, многоугольник называется неправильным. Например, прямоугольник (неправильный четырёхугольник).

Сумма углов многоугольника

Сумма внутренних углов многоугольника с $n$ сторонами вычисляется по формуле:

S = 180^\circ \cdot (n - 2),

где $n$ — количество сторон многоугольника. Например:

Для треугольника ( $n = 3$ ): сумма углов $S = 180^\circ \cdot (3 - 2) = 180^\circ$ .
Для четырёхугольника ( $n = 4$ ): сумма углов $S = 180^\circ \cdot (4 - 2) = 360^\circ$ .

Площадь многоугольника

Площадь многоугольника может быть вычислена разными способами в зависимости от его типа. Для регулярных многоугольников (например, правильных) площадь можно вычислить с использованием длины стороны и числа сторон. Формула для площади правильного многоугольника с $n$ сторонами длиной $a$ выглядит так:

A = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan\left( \frac{\pi}{n} \right)}.

Для неправильных многоугольников площадь можно вычислить с помощью разбиения на треугольники, или используя формулу по координатам вершин:

A = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} (x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1} \cdot y_i) + (x_n \cdot y_1 - x_1 \cdot y_n) \right|,

где $(x_{i}, y_{i})$ — координаты вершин многоугольника.

Применение многоугольников

Многоугольники широко используются в различных областях науки и техники:

Геометрия: для построений, доказательства теорем.
Архитектура: при проектировании зданий, мостов и других сооружений.
Техника: для создания элементов машин и устройств.
Математика: для вычислений площадей, периметров и углов в различных задачах.

Заключение

Многоугольники — это одни из самых простых и одновременно универсальных объектов в геометрии. Знание их свойств и особенностей позволяет решать многие задачи в различных областях науки и техники.