Математика Основные геометрические фигуры

Многоугольник

Многоугольник — это геометрическая фигура, состоящая из конечного числа прямолинейных отрезков, которые соединяются в вершины. Многоугольники играют важную роль в геометрии и используются для описания различных плоских фигур.

Определение многоугольника

Многоугольником называется фигура, которая состоит из множества точек, соединённых отрезками. Эти отрезки называются сторонами многоугольника, а их концы — вершинами. Многоугольник имеет замкнутую форму, то есть первая вершина совпадает с последней.

Классификация многоугольников

Многоугольники могут быть классифицированы по числу сторон:

  1. Треугольник — многоугольник с 3 сторонами.
  2. Четырёхугольник — многоугольник с 4 сторонами.
  3. Пятиугольник — многоугольник с 5 сторонами.
  4. Шестиугольник — многоугольник с 6 сторонами.
  5. Семиугольник — многоугольник с 7 сторонами.
  6. И так далее…

Если многоугольник имеет n n сторон, его называют n n -угольником.

Виды многоугольников

Правильные многоугольники

Правильным называется многоугольник, в котором все стороны равны между собой, а все углы одинаковы. Например, правильный треугольник (все стороны и углы одинаковы) и правильный квадрат (все стороны и углы равны).

  • Для правильного n n -угольника, углы между соседними сторонами равны 180∘⋅(n−2)n \frac{180^\circ \cdot (n-2)}{n} .

Неправильные многоугольники

Если хотя бы одна сторона или угол отличается от других, многоугольник называется неправильным. Например, прямоугольник (неправильный четырёхугольник).

Сумма углов многоугольника

Сумма внутренних углов многоугольника с n n сторонами вычисляется по формуле:

S=180∘⋅(n−2),S = 180^\circ \cdot (n - 2),

где n n — количество сторон многоугольника. Например:

  • Для треугольника (n=3 n = 3 ): сумма углов S=180∘⋅(3−2)=180∘ S = 180^\circ \cdot (3 - 2) = 180^\circ .
  • Для четырёхугольника (n=4 n = 4 ): сумма углов S=180∘⋅(4−2)=360∘ S = 180^\circ \cdot (4 - 2) = 360^\circ .

Площадь многоугольника

Площадь многоугольника может быть вычислена разными способами в зависимости от его типа. Для регулярных многоугольников (например, правильных) площадь можно вычислить с использованием длины стороны и числа сторон. Формула для площади правильного многоугольника с n n сторонами длиной a a выглядит так:

A=n⋅a24⋅tan⁡(πn).A = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan\left( \frac{\pi}{n} \right)}.

Для неправильных многоугольников площадь можно вычислить с помощью разбиения на треугольники, или используя формулу по координатам вершин:

A=12∣∑i=1n−1(xi⋅yi+1−xi+1⋅yi)+(xn⋅y1−x1⋅yn)∣,A = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} (x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1} \cdot y_i) + (x_n \cdot y_1 - x_1 \cdot y_n) \right|,

где (xi,yi) (x_i, y_i) — координаты вершин многоугольника.

Применение многоугольников

Многоугольники широко используются в различных областях науки и техники:

  1. Геометрия: для построений, доказательства теорем.
  2. Архитектура: при проектировании зданий, мостов и других сооружений.
  3. Техника: для создания элементов машин и устройств.
  4. Математика: для вычислений площадей, периметров и углов в различных задачах.

Заключение

Многоугольники — это одни из самых простых и одновременно универсальных объектов в геометрии. Знание их свойств и особенностей позволяет решать многие задачи в различных областях науки и техники.

ЧетырёхугольникПараллелограммы, ромбы, трапеции