Вписанные и описанные окружности

Вписанная и описанная окружности играют важную роль в геометрии, особенно в исследовании многоугольников. Эти окружности имеют прямое отношение к углам и сторонам многоугольников и могут быть использованы для решения различных геометрических задач.

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника изнутри. В частности, в треугольнике вписанная окружность касается каждой из трёх сторон треугольника в одной точке.

Свойства вписанной окружности:

• Вписанная окружность существует только в выпуклых многоугольниках, которые являются тангенциальными. То есть, только такие многоугольники могут иметь окружность, которая касается всех их сторон.
• Центр вписанной окружности называется центром вписанной окружности и является точкой пересечения биссектрис углов многоугольника.
• Радиус вписанной окружности зависит от площади многоугольника и его полупериметра.

Формула радиуса вписанной окружности для треугольника:

Если известны длины сторон треугольника $aa$, $bb$, $cc$ и его площадь $SS$, то радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле:

где $pp$ — полупериметр треугольника, равный:

Описанная окружность

Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника. В случае треугольника описанная окружность проходит через все три вершины и является внешней окружностью.

Свойства описанной окружности:

• Описанная окружность существует для любого треугольника, и её центр — это точка пересечения срединных перпендикуляров.
• Радиус описанной окружности — это расстояние от центра окружности до любой из вершин треугольника.
• Центр описанной окружности называется центром описанной окружности.

Формула радиуса описанной окружности для треугольника:

Для треугольника с длинами сторон $aa$, $bb$, $cc$ и площадью $SS$, радиус описанной окружности можно вычислить по формуле:

где $aa$, $bb$, $cc$ — длины сторон треугольника, а $SS$ — площадь треугольника.

Пример

Для треугольника с длинами сторон $a=6a\; =\; 6$, $b=8b\; =\; 8$, $c=10c\; =\; 10$:

1. Вписанная окружность:

   • Площадь треугольника $S=24S\; =\; 24$.
   • Полупериметр $p=\frac{6+8+10}{2}=12p\; =\; \backslash frac\{6\; +\; 8\; +\; 10\}\{2\}\; =\; 12$.
   • Радиус вписанной окружности $r=\frac{24}{12}=2r\; =\; \backslash frac\{24\}\{12\}\; =\; 2$.

2. Описанная окружность:

   • Радиус описанной окружности $R=\frac{6\cdot 8\cdot 10}{4\cdot 24}=5R\; =\; \backslash frac\{6\; \backslash cdot\; 8\; \backslash cdot\; 10\}\{4\; \backslash cdot\; 24\}\; =\; 5$.

Заключение

Вписанные и описанные окружности помогают решать разнообразные геометрические задачи, связанные с многоугольниками. В частности, их использование важно для нахождения центров масс, симметрии и оптимизации фигур.