Прямые

Прямая — это бесконечная линия, не имеющая толщины, которая проходит через любые две точки. Прямая не имеет начала и конца, а состоит из бесконечного множества точек.

Обозначение

Прямая обозначается:
- Двумя заглавными латинскими буквами: $A B$ , где $A$ и $B$ — две точки на прямой.
- Маленькой латинской буквой: $l$ , $m$ , $n$ .
На чертеже изображается в виде линии с двумя стрелками на концах.

Свойства прямой

Через любые две точки можно провести одну и только одну прямую.
Прямая состоит из бесконечного множества точек.
Прямая не имеет ни начала, ни конца (она бесконечна в обе стороны).

Взаимное расположение прямых

Пересекающиеся прямые:
- Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.
Параллельные прямые:
- Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются и находятся в одной плоскости.
- Обозначение: $a \parallel b$ .
Скрещивающиеся прямые:
- Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не лежат в одной плоскости.
Перпендикулярные прямые:
- Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$ .
- Обозначение: $a \perp b$ .

Прямая на координатной плоскости

На плоскости прямая задаётся уравнением:

y = k x + b,

где:

$k$ — угловой коэффициент (определяет наклон прямой),
$b$ — свободный член (определяет точку пересечения с осью $y$ ).

Свойства уравнения прямой

Если $k > 0$ , прямая наклонена вверх.
Если $k < 0$ , прямая наклонена вниз.
Если $k = 0$ , прямая параллельна оси $x$ .

Отрезок и луч

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками.
- Обозначается: $A B$ , где $A$ и $B$ — концы отрезка.
Луч — это часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца.
- Обозначается: $A B$ , где $A$ — начало луча.

Примеры

Пример 1: Определение пересечения

Даны две прямые:

$y = 2 x + 1$ ,
$y = - x + 4$ .

Найдём точку их пересечения.

Решение: Решим систему уравнений:

2 x + 1 = - x + 4.

2x + x = 4 - 1 \quad \Rightarrow \quad 3x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 1.

Подставим $x = 1$ в уравнение первой прямой:

y = 2 \cdot 1 + 1 = 3.

Ответ: Точка пересечения прямых: $(1, 3)$ .

Пример 2: Угол между прямыми

Угол между прямыми задаётся формулой:

\tan \alpha = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right|,

где $k_{1}$ и $k_{2}$ — угловые коэффициенты прямых.

Найдём угол между прямыми $y = 2 x + 1$ и $y = - x + 4$ .

Решение: Подставим $k_{1} = 2$ , $k_{2} = - 1$ :

\tan \alpha = \left| \frac{2 - (-1)}{1 + 2 \cdot (-1)} \right| = \left| \frac{2 + 1}{1 - 2} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = 3.

Угол:

\alpha = \arctan(3).

Задачи для закрепления

Через две точки $A (1, 2)$ и $B (4, 6)$ проведите прямую. Найдите её уравнение.
Определите, пересекаются ли прямые $y = 3 x + 2$ и $y = 3 x - 4$ .
Найдите угол между прямыми $y = x$ и $y = - x$ .

Заключение

Прямая — это одно из основополагающих понятий геометрии, используемое для изучения расположения фигур, нахождения их пересечений и других свойств. Прямые на координатной плоскости можно задавать с помощью уравнений, что делает их исследование удобным и наглядным.