Основные геометрические фигуры

Геометрические фигуры — это множества точек, которые образуют замкнутые или незамкнутые формы. Они являются основой для изучения геометрии. Геометрические фигуры делятся на плоские (2D) и объёмные (3D).

Плоские (2D) геометрические фигуры

1. Точка

• Точка - основной элемент геометрии, не имеющий размеров.

• Обозначение: Заглавными латинскими буквами ($AA$, $BB$, $CC$).

• Свойства:

  • Не имеет длины, ширины и высоты.
  • Является основой для построения всех других фигур.

2. Прямая

• Прямая - бесконечная линия, состоящая из точек, которая не имеет толщины.

• Обозначение: Двумя буквами ($ABAB$) или одной маленькой латинской буквой ($ll$, $mm$).

• Свойства:

  • Через две точки можно провести только одну прямую.
  • Прямая бесконечна в обе стороны.

3. Отрезок

• Отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками.

• Обозначение: $ABAB$, где $AA$ и $BB$ — концы отрезка.

• Свойства:

  • Имеет определённую длину.
  • Длина отрезка равна расстоянию между его концами.

4. Угол

• Угол - геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

• Обозначение: $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$, где $BB$ — вершина угла.

• Свойства:

  • Измеряется в градусах или радианах.
  • Виды углов:

• Острый (),

• Прямой ($\alpha =90^{\circ }\backslash alpha\; =\; 90^\backslash circ$),

• Тупой (),

• Развёрнутый ($\alpha =180^{\circ }\backslash alpha\; =\; 180^\backslash circ$).

5. Треугольник

• Треугольник - замкнутая фигура, состоящая из трёх отрезков, соединяющих три точки.

• Обозначение: $\mathrm{△}ABC\backslash triangle\; ABC$, где $AA$, $BB$, $CC$ — вершины.

• Свойства:

  • Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }180^\backslash circ$.
  • Виды треугольников:

• По углам: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный.

• По сторонам: равносторонний, равнобедренный, разносторонний.

6. Четырёхугольник

• Четырёхугольник- замкнутая фигура, состоящая из четырёх отрезков.

• Свойства:

  • Сумма углов четырёхугольника равна $360^{\circ }360^\backslash circ$.
  • Виды четырёхугольников:

• Параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник, трапеция.

7. Круг и окружность

• Окружность - множество всех точек, равноудалённых от заданной точки (центра).

• Круг - область внутри окружности.

• Свойства:

  • Длина окружности: $C=2\pi rC\; =\; 2\backslash pi\; r$, где $rr$ — радиус.
  • Площадь круга: $S=\pi r^{2}S\; =\; \backslash pi\; r^2$.

Объёмные (3D) геометрические фигуры

1. Куб

• Куб - прямоугольный параллелепипед, у которого все грани — квадраты.

• Свойства:

  • Объём: $V=a^{3}V\; =\; a^3$, где $aa$ — длина ребра.
  • Площадь поверхности: $S=6a^{2}S\; =\; 6a^2$.

2. Параллелепипед

• Параллелепипед - призма, у которой все грани — параллелограммы.

• Свойства:

  • Объём: $V=a\cdot b\cdot hV\; =\; a\; \backslash cdot\; b\; \backslash cdot\; h$, где $aa$, $bb$ — длины сторон основания, $hh$ — высота.
  • Площадь поверхности: $S=2(ab+bc+ac)S\; =\; 2(ab\; +\; bc\; +\; ac)$.

3. Цилиндр

• Цилиндр - фигура, образованная вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

• Свойства:

  • Объём: $V=\pi r^{2}hV\; =\; \backslash pi\; r^2\; h$, где $rr$ — радиус основания, $hh$ — высота.
  • Площадь поверхности: $S=2\pi r(r+h)S\; =\; 2\backslash pi\; r\; (r\; +\; h)$.

4. Конус

• Конус - фигура, образованная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

• Свойства:

  • Объём: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}hV\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash pi\; r^2\; h$.
  • Площадь поверхности: $S=\pi r(r+l)S\; =\; \backslash pi\; r\; (r\; +\; l)$, где $ll$ — образующая.

5. Шар и сфера

• Шар и сфера - множество всех точек в пространстве, удалённых от центра на расстояние, не превышающее радиус.

• Сфера - поверхность шара.

• Свойства:

  • Объём шара: $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}V\; =\; \backslash frac\{4\}\{3\}\; \backslash pi\; r^3$.
  • Площадь поверхности сферы: $S=4\pi r^{2}S\; =\; 4\backslash pi\; r^2$.

Примеры задач

1. Найдите площадь круга, если радиус равен $77$ см.

2. Найдите объём куба, если длина его ребра равна $44$ см.

3. Вычислите длину окружности с радиусом $1010$ см.

4. Найдите площадь поверхности цилиндра, если радиус основания равен $33$ см, а высота — $55$ см.

Заключение

Основные геометрические фигуры — это фундаментальные объекты в геометрии. Их свойства и формулы являются важным инструментом для решения множества задач в математике и науке. Понимание этих фигур позволяет глубже изучить принципы геометрии и её применение.