Цилиндр

Цилиндр — это трёхмерная геометрическая фигура, образованная вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Элементы цилиндра

1. Основания:
   Две равные и параллельные плоские фигуры (обычно круги), лежащие в параллельных плоскостях.

2. Боковая поверхность:
   Кривая поверхность, соединяющая основания.

3. Ось цилиндра:
   Прямая, проходящая через центры оснований.

4. Высота цилиндра:
   Расстояние между плоскостями оснований. Обозначается $hh$.

5. Радиус основания:
   Радиус круга основания. Обозначается $rr$.

Виды цилиндров

1. Прямой цилиндр:
   Ось цилиндра перпендикулярна плоскостям оснований.

2. Наклонный цилиндр:
   Ось цилиндра не перпендикулярна плоскостям оснований.

3. Правильный цилиндр:
   Цилиндр с круглыми основаниями.

Свойства цилиндра

1. Основания цилиндра равны и параллельны.
2. Боковая поверхность цилиндра при развёртке представляет собой прямоугольник.
3. Ось цилиндра является осью симметрии.

Формулы для цилиндра

1. Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности:

где $rr$ — радиус основания, $hh$ — высота.

2. Площадь полной поверхности

Полная площадь поверхности цилиндра включает боковую поверхность и площади двух оснований:

3. Объём цилиндра

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

Примеры

Пример 1: Найдите площадь боковой поверхности

Цилиндр имеет радиус основания $r=4r\; =\; 4$ см и высоту $h=10h\; =\; 10$ см. Найдите площадь боковой поверхности.

Решение: Используем формулу:

Подставим значения:

Ответ: $S_{\text{бок}}=80\pi {\text{см}}^{2}S\_\backslash text\{бок\}\; =\; 80\backslash pi\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$.

Пример 2: Найдите площадь полной поверхности

Радиус основания цилиндра $r=3r\; =\; 3$ см, высота $h=5h\; =\; 5$ см. Найдите площадь полной поверхности.

Решение: Используем формулу:

Подставим значения:

Ответ: $S_{\text{полн}}=48\pi {\text{см}}^{2}S\_\backslash text\{полн\}\; =\; 48\backslash pi\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$.

Пример 3: Найдите объём цилиндра

Радиус основания цилиндра $r=6r\; =\; 6$ см, высота $h=10h\; =\; 10$ см. Найдите объём.

Решение: Используем формулу:

Подставим значения:

Ответ: $V=360\pi {\text{см}}^{3}V\; =\; 360\backslash pi\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^3$.

Задачи для закрепления

1. Найдите объём цилиндра, если его радиус равен $55$ см, а высота — $1212$ см.
2. Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра с радиусом основания $77$ см и высотой $1515$ см.
3. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, у которого радиус основания $r=8r\; =\; 8$ см, а высота $h=10h\; =\; 10$ см.

Заключение

Цилиндр — одна из базовых трёхмерных фигур, свойства которой часто используются в геометрии, физике и инженерных расчётах. Знание формул для площади и объёма позволяет эффективно решать задачи, связанные с цилиндрами.