Основные

Курсы

Другое

Конус

Конус — это трёхмерная геометрическая фигура, образованная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Основание конуса — круг, лежащий в плоскости.
Боковая поверхность — коническая поверхность, соединяющая вершину с точками основания.
Вершина конуса — точка, не лежащая в плоскости основания, к которой сходятся боковые стороны.

Элементы конуса

Основание:
Круг с радиусом $r$ .
Высота:
Перпендикуляр от вершины конуса к плоскости основания. Обозначается $h$ .
Образующая:
Отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой на окружности основания. Обозначается $l$ .
Радиус основания:
Радиус круга, образующего основание конуса. Обозначается $r$ .

Свойства конуса

Боковая поверхность представляет собой развёртку в виде сектора круга.
Образующие конуса равны по длине.
Высота делит конус на два симметричных полупространства.

Формулы для конуса

1. Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности равна половине произведения длины окружности основания на длину образующей:

S_\text{бок} = \pi r l,

где $r$ — радиус основания, $l$ — образующая.

2. Площадь полной поверхности

Полная площадь поверхности включает боковую поверхность и площадь основания:

S_\text{полн} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r).

3. Объём конуса

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,

где $r$ — радиус основания, $h$ — высота.

4. Образующая

Образующая $l$ может быть найдена по теореме Пифагора:

l = \sqrt{r^2 + h^2}.

Примеры

Пример 1: Найдите площадь боковой поверхности

Конус имеет радиус основания $r = 4$ см и образующую $l = 10$ см. Найдите площадь боковой поверхности.

Решение: Используем формулу:

S_\text{бок} = \pi r l.

Подставим значения:

S_\text{бок} = \pi \cdot 4 \cdot 10 = 40\pi \, \text{см}^2.

Ответ: $S_\text{бок} = 40\pi \, \text{см}^2$ .

Пример 2: Найдите объём конуса

Конус имеет радиус основания $r = 5$ см и высоту $h = 12$ см. Найдите объём.

Решение: Используем формулу:

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h.

Подставим значения:

V = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi \, \text{см}^3.

Ответ: $V = 100\pi \, \text{см}^3$ .

Пример 3: Найдите длину образующей

Конус имеет радиус основания $r = 6$ см и высоту $h = 8$ см. Найдите длину образующей $l$ .

Решение: Используем теорему Пифагора:

l = \sqrt{r^2 + h^2}.

Подставим значения:

l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см}.

Ответ: $l = 10 \, \text{см}$ .

Пример 4: Найдите площадь полной поверхности

Конус имеет радиус основания $r = 3$ см и длину образующей $l = 5$ см. Найдите площадь полной поверхности.

Решение: Используем формулу:

S_\text{полн} = \pi r (l + r).

Подставим значения:

S_\text{полн} = \pi \cdot 3 \cdot (5 + 3) = \pi \cdot 3 \cdot 8 = 24\pi \, \text{см}^2.

Ответ: $S_\text{полн} = 24\pi \, \text{см}^2$ .

Задачи для закрепления

Найдите объём конуса, если радиус основания $r = 7$ см, а высота $h = 15$ см.
Вычислите площадь боковой поверхности конуса с радиусом основания $r = 6$ см и длиной образующей $l = 10$ см.
Найдите длину образующей конуса, если радиус основания $r = 8$ см, а высота $h = 15$ см.
Определите площадь полной поверхности конуса, у которого радиус основания $r = 4$ см и высота $h = 6$ см.

Заключение

Конус — это важная пространственная фигура, используемая в геометрии, физике и инженерных задачах. Знание формул для площади, объёма и длины образующей помогает решать широкий спектр задач, связанных с данной фигурой.