Шар

Шар — это геометрическое тело, состоящее из всех точек в пространстве, которые находятся на расстоянии не большем, чем заданный радиус $rr$ от центра.

Элементы шара

1. Центр шара:
   Точка, от которой все точки поверхности шара равноудалены.

2. Радиус шара ($rr$):
   Расстояние от центра шара до любой точки его поверхности.

3. Диаметр шара ($dd$):
   Длина отрезка, соединяющего две точки поверхности шара и проходящего через его центр.
   Связь радиуса и диаметра:

   $d=2r\mathrm{.}d\; =\; 2r.$

4. Поверхность шара (сфера):
   Совокупность всех точек, удалённых от центра на расстояние $rr$.

Свойства шара

1. Шар обладает симметрией относительно своего центра.
2. Сечение шара плоскостью всегда является кругом.
3. Максимальное сечение шара плоскостью — это круг диаметра $dd$, называемый большим кругом.

Формулы для шара

1. Площадь поверхности шара

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

где $rr$ — радиус шара.

2. Объём шара

Объём шара определяется как:

где $rr$ — радиус шара.

Примеры

Пример 1: Найдите площадь поверхности шара

Радиус шара равен $r=5r\; =\; 5$ см. Найдите его площадь поверхности.

Решение: Используем формулу:

Подставим значение $r=5r\; =\; 5$:

Ответ: $S=100\pi {\text{см}}^{2}S\; =\; 100\backslash pi\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$.

Пример 2: Найдите объём шара

Радиус шара равен $r=6r\; =\; 6$ см. Найдите объём шара.

Решение: Используем формулу:

Подставим значение $r=6r\; =\; 6$:

Ответ: $V=288\pi {\text{см}}^{3}V\; =\; 288\backslash pi\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^3$.

Пример 3: Найдите радиус шара

Площадь поверхности шара равна $S=144\pi S\; =\; 144\backslash pi$ см². Найдите радиус шара.

Решение: Используем формулу площади поверхности:

Подставим значение $S=144\pi S\; =\; 144\backslash pi$:

Сократим на $4\pi 4\backslash pi$:

Ответ: $r=6r\; =\; 6$ см.

Пример 4: Найдите диаметр шара

Объём шара равен $V=\frac{500\pi }{3}V\; =\; \backslash frac\{500\backslash pi\}\{3\}$ см³. Найдите диаметр шара.

Решение: Используем формулу объёма:

Подставим значение $V=\frac{500\pi }{3}V\; =\; \backslash frac\{500\backslash pi\}\{3\}$:

Сократим на $\frac{\pi }{3}\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}$:

Диаметр:

Ответ: $d=10d\; =\; 10$ см.

Задачи для закрепления

1. Найдите площадь поверхности шара, радиус которого равен $77$ см.
2. Вычислите объём шара с радиусом $r=4r\; =\; 4$ см.
3. Радиус шара равен $1010$ см. Найдите диаметр, площадь поверхности и объём шара.
4. Площадь поверхности шара равна $400\pi 400\backslash pi$ см². Найдите радиус и объём шара.

Заключение

Шар — это важная фигура в геометрии и математике, которая находит применение в физике, астрономии и инженерии. Знание формул для вычисления площади и объёма шара позволяет решать множество задач, связанных с трёхмерными объектами.