Математика Основные геометрические фигуры

Сфера

Сфера — это геометрическая поверхность, состоящая из всех точек, равноудалённых от одной фиксированной точки, называемой центром сферы.

  • Центр сферы — фиксированная точка, относительно которой все точки поверхности сферы находятся на одинаковом расстоянии.

  • Радиус сферы (rr) — расстояние от центра сферы до любой точки на её поверхности.

Сфера является границей шара, а шар включает сферу и все точки внутри неё.

Элементы сферы

  1. Центр:
    Точка, от которой все точки сферы равноудалены.

  2. Радиус:
    Расстояние от центра до любой точки на поверхности сферы.

  3. Диаметр:
    Длина отрезка, соединяющего две точки на сфере и проходящего через её центр.
    Связь радиуса и диаметра:

    d=2r.d = 2r.

  4. Большой круг:
    Круг, полученный в результате сечения сферы плоскостью, проходящей через её центр. Радиус большого круга равен радиусу сферы.

Свойства сферы

  1. Сфера обладает полной симметрией относительно своего центра.
  2. Все большие круги на сфере равны и имеют радиус, равный радиусу сферы.
  3. Сечение сферы плоскостью, не проходящей через центр, является кругом меньшего радиуса.
  4. Максимальное сечение сферы — это её большой круг.

Формулы для сферы

1. Площадь поверхности сферы

Площадь поверхности сферы рассчитывается по формуле:

S=4πr2,S = 4\pi r^2,

где rr — радиус сферы.

2. Объём шара (пространства, ограниченного сферой)

Объём шара, ограниченного сферой:

V=43πr3,V = \frac{4}{3} \pi r^3,

где rr — радиус сферы.

Примеры

Пример 1: Найдите площадь поверхности сферы

Радиус сферы равен r=6r = 6 см. Найдите площадь её поверхности.

Решение: Используем формулу:

S=4πr2.S = 4\pi r^2.

Подставим значение r=6r = 6:

S=4π⋅62=4π⋅36=144π см2.S = 4\pi \cdot 6^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \, \text{см}^2.

Ответ: S=144π см2S = 144\pi \, \text{см}^2.

Пример 2: Найдите объём шара

Радиус сферы равен r=8r = 8 см. Найдите объём шара, ограниченного этой сферой.

Решение: Используем формулу:

V=43πr3.V = \frac{4}{3} \pi r^3.

Подставим значение r=8r = 8:

V=43π⋅83=43π⋅512=20483π см3.V = \frac{4}{3} \pi \cdot 8^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 512 = \frac{2048}{3} \pi \, \text{см}^3.

Ответ: V=20483π см3V = \frac{2048}{3}\pi \, \text{см}^3.

Пример 3: Найдите радиус сферы

Площадь поверхности сферы равна S=400πS = 400\pi см². Найдите радиус сферы.

Решение: Используем формулу площади поверхности:

S=4πr2.S = 4\pi r^2.

Подставим значение S=400πS = 400\pi:

400π=4πr2.400\pi = 4\pi r^2.

Сократим на 4π4\pi:

r2=100⇒r=100=10 см.r^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt{100} = 10 \, \text{см}.

Ответ: r=10r = 10 см.

Пример 4: Найдите диаметр сферы

Объём шара равен V=288π3V = \frac{288\pi}{3} см³. Найдите диаметр сферы.

Решение: Используем формулу объёма:

V=43πr3.V = \frac{4}{3} \pi r^3.

Подставим значение V=288π3V = \frac{288\pi}{3}:

288π3=43πr3.\frac{288\pi}{3} = \frac{4}{3} \pi r^3.

Сократим на π3\frac{\pi}{3}:

288=4r3⇒r3=2884=72⇒r=723.288 = 4r^3 \quad \Rightarrow \quad r^3 = \frac{288}{4} = 72 \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt[3]{72}.

Диаметр:

d=2r.d = 2r.

Точное значение dd вычисляется в зависимости от упрощения.

Задачи для закрепления

  1. Найдите площадь поверхности сферы, если радиус равен r=9r = 9 см.
  2. Вычислите объём шара с радиусом r=7r = 7 см.
  3. Радиус сферы равен 55 см. Найдите её диаметр, площадь поверхности и объём.
  4. Площадь поверхности сферы равна 625π625\pi см². Найдите радиус и объём шара.

Заключение

Сфера — это фундаментальная фигура в геометрии и математике. Её свойства и формулы применяются в физике, астрономии, инженерии и многих других областях. Знание формул для площади и объёма сферы позволяет решать широкий спектр задач.