Основные

Курсы

Другое

Сфера

Сфера — это геометрическая поверхность, состоящая из всех точек, равноудалённых от одной фиксированной точки, называемой центром сферы.

Центр сферы — фиксированная точка, относительно которой все точки поверхности сферы находятся на одинаковом расстоянии.
Радиус сферы ( $r$ ) — расстояние от центра сферы до любой точки на её поверхности.

Сфера является границей шара, а шар включает сферу и все точки внутри неё.

Элементы сферы

Центр:
Точка, от которой все точки сферы равноудалены.
Радиус:
Расстояние от центра до любой точки на поверхности сферы.
Диаметр:
Длина отрезка, соединяющего две точки на сфере и проходящего через её центр.
Связь радиуса и диаметра:
$d = 2 r .$
Большой круг:
Круг, полученный в результате сечения сферы плоскостью, проходящей через её центр. Радиус большого круга равен радиусу сферы.

Свойства сферы

Сфера обладает полной симметрией относительно своего центра.
Все большие круги на сфере равны и имеют радиус, равный радиусу сферы.
Сечение сферы плоскостью, не проходящей через центр, является кругом меньшего радиуса.
Максимальное сечение сферы — это её большой круг.

Формулы для сферы

1. Площадь поверхности сферы

Площадь поверхности сферы рассчитывается по формуле:

S = 4\pi r^2,

где $r$ — радиус сферы.

2. Объём шара (пространства, ограниченного сферой)

Объём шара, ограниченного сферой:

V = \frac{4}{3} \pi r^3,

где $r$ — радиус сферы.

Примеры

Пример 1: Найдите площадь поверхности сферы

Радиус сферы равен $r = 6$ см. Найдите площадь её поверхности.

Решение: Используем формулу:

S = 4\pi r^2.

Подставим значение $r = 6$ :

S = 4\pi \cdot 6^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \, \text{см}^2.

Ответ: $S = 144\pi \, \text{см}^2$ .

Пример 2: Найдите объём шара

Радиус сферы равен $r = 8$ см. Найдите объём шара, ограниченного этой сферой.

Решение: Используем формулу:

V = \frac{4}{3} \pi r^3.

Подставим значение $r = 8$ :

V = \frac{4}{3} \pi \cdot 8^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 512 = \frac{2048}{3} \pi \, \text{см}^3.

Ответ: $V = \frac{2048}{3}\pi \, \text{см}^3$ .

Пример 3: Найдите радиус сферы

Площадь поверхности сферы равна $S = 400\pi$ см². Найдите радиус сферы.

Решение: Используем формулу площади поверхности:

S = 4\pi r^2.

Подставим значение $S = 400\pi$ :

400\pi = 4\pi r^2.

Сократим на $4\pi$ :

r^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt{100} = 10 \, \text{см}.

Ответ: $r = 10$ см.

Пример 4: Найдите диаметр сферы

Объём шара равен $V = \frac{288\pi}{3}$ см³. Найдите диаметр сферы.

Решение: Используем формулу объёма:

V = \frac{4}{3} \pi r^3.

Подставим значение $V = \frac{288\pi}{3}$ :

\frac{288\pi}{3} = \frac{4}{3} \pi r^3.

Сократим на $\frac{\pi}{3}$ :

288 = 4r^3 \quad \Rightarrow \quad r^3 = \frac{288}{4} = 72 \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt[3]{72}.

Диаметр:

d = 2 r .

Точное значение $d$ вычисляется в зависимости от упрощения.

Задачи для закрепления

Найдите площадь поверхности сферы, если радиус равен $r = 9$ см.
Вычислите объём шара с радиусом $r = 7$ см.
Радиус сферы равен $5$ см. Найдите её диаметр, площадь поверхности и объём.
Площадь поверхности сферы равна $625\pi$ см². Найдите радиус и объём шара.

Заключение

Сфера — это фундаментальная фигура в геометрии и математике. Её свойства и формулы применяются в физике, астрономии, инженерии и многих других областях. Знание формул для площади и объёма сферы позволяет решать широкий спектр задач.