Отрезок

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками.
Эти две точки называются концами отрезка.

Обозначение

• Отрезок обозначается двумя заглавными латинскими буквами, которые указывают его концы: $ABAB$, $CDCD$.
• Длина отрезка обозначается как $\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }|AB|$ или $ABAB$.

Свойства отрезка

1. Концы отрезка:

   • Отрезок имеет начало и конец.
   • В отличие от прямой, отрезок ограничен.

2. Измеримость:

   • Длина отрезка — это расстояние между его концами.

3. Часть прямой:

   • Любой отрезок лежит на прямой, проходящей через его концы.

4. Делимость:

   • Любой отрезок можно разделить на несколько меньших отрезков.

Расположение точек на отрезке

1. Внутренняя точка:

   • Точка $CC$ лежит на отрезке $ABAB$, если:$AC+CB=AB\mathrm{.}AC\; +\; CB\; =\; AB.$

2. Деление отрезка пополам:

   • Точка $MM$ делит отрезок $ABAB$ пополам, если:$AM=MB=\frac{AB}{2}\mathrm{.}AM\; =\; MB\; =\; \backslash frac\{AB\}\{2\}.$

Длина отрезка

1. На числовой прямой: Длина отрезка между точками с координатами $x_{1}x\_1$ и $x_{2}x\_2$ равна:

   $\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{x}_2-x_1\mathrm{\mid }\mathrm{.}|AB|\; =\; |x\_2\; -\; x\_1|.$

2. На плоскости: Длина отрезка между точками $A(x_1,y_1)A(x\_1,\; y\_1)$ и $B(x_2,y_2)B(x\_2,\; y\_2)$ вычисляется по формуле:

   $\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}\mathrm{.}|AB|\; =\; \backslash sqrt\{(x\_2\; -\; x\_1)^2\; +\; (y\_2\; -\; y\_1)^2\}.$

3. В пространстве: Длина отрезка между точками $A(x_1,y_1,z_1)A(x\_1,\; y\_1,\; z\_1)$ и $B(x_2,y_2,z_2)B(x\_2,\; y\_2,\; z\_2)$ вычисляется по формуле:

   $\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}\mathrm{.}|AB|\; =\; \backslash sqrt\{(x\_2\; -\; x\_1)^2\; +\; (y\_2\; -\; y\_1)^2\; +\; (z\_2\; -\; z\_1)^2\}.$

Средняя точка отрезка

Координаты точки $MM$, делящей отрезок $ABAB$ пополам, находятся как среднее арифметическое координат концов:

1. На плоскости:

   $M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\mathrm{.}M\backslash left(\backslash frac\{x\_1\; +\; x\_2\}\{2\},\; \backslash frac\{y\_1\; +\; y\_2\}\{2\}\backslash right).$

2. В пространстве:

   $M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2})\mathrm{.}M\backslash left(\backslash frac\{x\_1\; +\; x\_2\}\{2\},\; \backslash frac\{y\_1\; +\; y\_2\}\{2\},\; \backslash frac\{z\_1\; +\; z\_2\}\{2\}\backslash right).$

Примеры

Пример 1: Длина отрезка на числовой прямой

Найдите длину отрезка $ABAB$, если $A=-3A\; =\; -3$ и $B=5B\; =\; 5$.

Решение:

Ответ: Длина отрезка $AB=8AB\; =\; 8$.

Пример 2: Длина отрезка на плоскости

Найдите длину отрезка $ABAB$, если $A(1,2)A(1,\; 2)$ и $B(4,6)B(4,\; 6)$.

Решение:

Ответ: Длина отрезка $AB=5AB\; =\; 5$.

Пример 3: Средняя точка отрезка

Найдите координаты средней точки отрезка $ABAB$, если $A(2,-1)A(2,\; -1)$ и $B(6,5)B(6,\; 5)$.

Решение:

Ответ: Средняя точка $M(4,2)M(4,\; 2)$.

Задачи для закрепления

1. Найдите длину отрезка, если координаты его концов:

   • $A(1,3)A(1,\; 3)$, $B(4,7)B(4,\; 7)$,
   • $A(-2,5)A(-2,\; 5)$, $B(3,-1)B(3,\; -1)$.

2. Найдите координаты средней точки отрезка:

   • $A(0,0)A(0,\; 0)$, $B(8,6)B(8,\; 6)$,
   • $A(-3,4)A(-3,\; 4)$, $B(5,-2)B(5,\; -2)$.

3. Даны точки $A(-2,3)A(-2,\; 3)$, $B(2,7)B(2,\; 7)$, $C(0,5)C(0,\; 5)$. Проверьте, лежит ли точка $CC$ на отрезке $ABAB$.

Заключение

Отрезок — это базовая геометрическая фигура, которая используется для изучения расстояний, построения фигур и анализа их свойств. Понимание свойств отрезка, таких как длина, деление пополам, позволяет решать как теоретические, так и практические задачи.