Куб

Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, а все грани являются квадратами.

• Куб имеет 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• Грани куба взаимно перпендикулярны.

Элементы куба

1. Грани:
   Плоские поверхности куба, каждая из которых представляет собой квадрат.

   • Количество: 6.
   • Площадь каждой грани: $a^{2}a^2$, где $aa$ — длина ребра.

2. Рёбра:
   Отрезки, соединяющие вершины куба. Все рёбра равны.

   • Количество: 12.
   • Длина каждого ребра: $aa$.

3. Вершины:
   Точки пересечения рёбер.

   • Количество: 8.

4. Диагонали грани:
   Отрезки, соединяющие противоположные вершины одной грани.

   • Длина диагонали грани:$d_{\text{грани}}=a\sqrt{2}\mathrm{.}d\_\backslash text\{грани\}\; =\; a\backslash sqrt\{2\}.$

5. Диагонали куба:
   Отрезки, соединяющие противоположные вершины куба, проходящие через его внутреннее пространство.

   • Длина диагонали куба:$d_{\text{куба}}=a\sqrt{3}\mathrm{.}d\_\backslash text\{куба\}\; =\; a\backslash sqrt\{3\}.$

Свойства куба

1. Равные рёбра:
   Все рёбра куба имеют одинаковую длину.

2. Грани — квадраты:
   Каждая из шести граней является квадратом.

3. Симметрия:
   Куб обладает высокой степенью симметрии:

   • Центр симметрии (точка пересечения диагоналей),
   • Оси симметрии,
   • Плоскости симметрии.

4. Равенство углов:
   Все углы между рёбрами и между гранями равны $90^{\circ }90^\backslash circ$.

Формулы для куба

1. Площадь поверхности:

   $S_{\text{поверхности}}=6a^2,S\_\backslash text\{поверхности\}\; =\; 6a^2,$

   где $aa$ — длина ребра.

2. Объём куба:

   $V=a^3,V\; =\; a^3,$

   где $aa$ — длина ребра.

3. Длина диагонали грани:

   $d_{\text{грани}}=a\sqrt{2}\mathrm{.}d\_\backslash text\{грани\}\; =\; a\backslash sqrt\{2\}.$

4. Длина диагонали куба:

   $d_{\text{куба}}=a\sqrt{3}\mathrm{.}d\_\backslash text\{куба\}\; =\; a\backslash sqrt\{3\}.$

Примеры

Пример 1: Найдите площадь поверхности

Куб имеет ребро длиной $a=4a\; =\; 4$ см. Найдите площадь его поверхности.

Решение: Используем формулу площади поверхности:

Подставим $a=4a\; =\; 4$:

Ответ: $S_{\text{поверхности}}=96{\text{см}}^{2}S\_\backslash text\{поверхности\}\; =\; 96\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$.

Пример 2: Найдите объём куба

Куб имеет ребро длиной $a=5a\; =\; 5$ см. Найдите его объём.

Решение: Используем формулу объёма:

Подставим $a=5a\; =\; 5$:

Ответ: $V=125{\text{см}}^{3}V\; =\; 125\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^3$.

Пример 3: Найдите диагональ куба

Куб имеет ребро длиной $a=3a\; =\; 3$ см. Найдите длину диагонали куба.

Решение: Используем формулу диагонали:

Подставим $a=3a\; =\; 3$:

Ответ: $d_{\text{куба}}=3\sqrt{3}d\_\backslash text\{куба\}\; =\; 3\backslash sqrt\{3\}$.

Пример 4: Найдите диагональ грани куба

Куб имеет ребро длиной $a=6a\; =\; 6$ см. Найдите длину диагонали одной грани.

Решение: Используем формулу диагонали грани:

Подставим $a=6a\; =\; 6$:

Ответ: $d_{\text{грани}}=6\sqrt{2}d\_\backslash text\{грани\}\; =\; 6\backslash sqrt\{2\}$.

Задачи для закрепления

1. Найдите площадь поверхности куба с ребром $a=8a\; =\; 8$ см.
2. Вычислите объём куба, если его диагональ равна $6\sqrt{3}6\backslash sqrt\{3\}$ см.
3. Найдите длину диагонали грани куба с ребром $a=10a\; =\; 10$ см.
4. Куб имеет объём $343{\text{см}}^{3}343\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^3$. Найдите длину его ребра.

Заключение

Куб — это симметричная трёхмерная фигура, свойства которой широко применяются в геометрии и реальных задачах. Формулы для площади поверхности, объёма и диагоналей помогают решать множество задач, связанных с вычислением пространственных характеристик.