Параллелепипед

Параллелепипед — это трёхмерная геометрическая фигура, у которой каждая грань является параллелограммом.

Виды параллелепипедов

1. Прямой параллелепипед:
   Все боковые грани перпендикулярны основаниям.

2. Прямоугольный параллелепипед:
   Прямой параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.

3. Ромбический параллелепипед (ромбоида):
   Основания и боковые грани — ромбы.

4. Куб:
   Частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все грани — квадраты.

Элементы параллелепипеда

1. Грани:
   Параллелепипед имеет 6 граней, каждая из которых — параллелограмм.

2. Рёбра:
   Параллелепипед имеет 12 рёбер, причём противоположные рёбра равны.

3. Вершины:
   У параллелепипеда 8 вершин.

4. Диагонали:

   • Диагонали граней: Отрезки, соединяющие противоположные вершины одной грани.
   • Диагонали параллелепипеда: Отрезки, соединяющие противоположные вершины параллелепипеда. Их длина вычисляется через рёбра.

Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллельны и равны.
2. Диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
3. Объём параллелепипеда можно вычислить через площадь основания и высоту.
4. Для прямоугольного параллелепипеда диагональ выражается через теорему Пифагора.

Формулы для параллелепипеда

1. Объём:
   Общая формула объёма:

   $V=S_{\text{осн}}\cdot h,V\; =\; S\_\{\backslash text\{осн\}\}\; \backslash cdot\; h,$

   где $S_{\text{осн}}S\_\{\backslash text\{осн\}\}$ — площадь основания, $hh$ — высота.

   Для прямоугольного параллелепипеда:

   $V=a\cdot b\cdot c,V\; =\; a\; \backslash cdot\; b\; \backslash cdot\; c,$

   где $aa$, $bb$, $cc$ — длины рёбер.

2. Площадь поверхности:
   Для прямоугольного параллелепипеда:

   $S=2(ab+bc+ac),S\; =\; 2(ab\; +\; bc\; +\; ac),$

   где $aa$, $bb$, $cc$ — длины рёбер.

3. Длина диагонали параллелепипеда:
   Для прямоугольного параллелепипеда:

   $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\mathrm{.}d\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\}.$

Примеры

Пример 1: Найдите объём прямоугольного параллелепипеда

Длины рёбер параллелепипеда равны $a=4a\; =\; 4$ см, $b=5b\; =\; 5$ см, $c=6c\; =\; 6$ см. Найдите его объём.

Решение: Используем формулу объёма:

Подставим значения:

Ответ: $V=120{\text{см}}^{3}V\; =\; 120\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^3$.

Пример 2: Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Пусть $a=3a\; =\; 3$ см, $b=4b\; =\; 4$ см, $c=5c\; =\; 5$ см. Найдите площадь поверхности.

Решение: Используем формулу площади поверхности:

Подставим значения:

Ответ: $S=94{\text{см}}^{2}S\; =\; 94\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$.

Пример 3: Найдите длину диагонали

Пусть $a=2a\; =\; 2$ см, $b=3b\; =\; 3$ см, $c=6c\; =\; 6$ см. Найдите диагональ параллелепипеда.

Решение: Используем формулу диагонали:

Подставим значения:

Ответ: $d=7\text{см}d\; =\; 7\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}$.

Задачи для закрепления

1. Найдите объём параллелепипеда с рёбрами $a=6a\; =\; 6$ см, $b=8b\; =\; 8$ см, $c=10c\; =\; 10$ см.
2. Вычислите площадь поверхности параллелепипеда, если его рёбра равны $33$ см, $44$ см, $77$ см.
3. Найдите длину диагонали параллелепипеда с рёбрами $55$ см, $1212$ см, $1313$ см.

Заключение

Параллелепипед — это важная пространственная фигура, широко используемая в геометрии и практических задачах. Знание его свойств и формул позволяет решать задачи, связанные с объёмами, площадями поверхностей и диагоналями.