Плоскость

Плоскость — это бесконечная поверхность, которая полностью определяется любыми тремя точками, не лежащими на одной прямой. Плоскость является одним из основных объектов в геометрии.

Свойства плоскости

1. Однозначное определение:

   • Плоскость задаётся:
     • Тремя точками, не лежащими на одной прямой;
     • Прямой и точкой, не лежащей на ней;
     • Двумя пересекающимися прямыми;
     • Двумя параллельными прямыми.

2. Взаимное расположение:

   • Точка принадлежит или не принадлежит плоскости.
   • Прямая принадлежит или пересекает плоскость.

3. Параллельность и перпендикулярность:

   • Если две плоскости параллельны, то любая прямая одной плоскости параллельна другой плоскости.
   • Если плоскости пересекаются, то их линия пересечения — это прямая.

4. Свойство плоскости как бесконечной фигуры:

   • Любая плоскость делит пространство на две полупространства.

Уравнение плоскости

В пространстве с декартовой системой координат уравнение плоскости имеет вид:

где:

• $AA$, $BB$, $CC$, $DD$ — коэффициенты, определяющие плоскость,
• $(x,y,z)(x,\; y,\; z)$ — координаты точки, лежащей на плоскости.

Взаимное расположение плоскости и прямой

1. Прямая лежит на плоскости:
   Если все точки прямой принадлежат плоскости.

2. Прямая пересекает плоскость:
   Если есть одна общая точка.

3. Прямая параллельна плоскости:
   Если нет общих точек.

Взаимное расположение двух плоскостей

1. Параллельные плоскости:
   Не имеют общих точек.

2. Пересекающиеся плоскости:
   Пересекаются по прямой.

Формулы, связанные с плоскостью

1. Расстояние от точки до плоскости: Пусть точка $M(x_0,y_0,z_0)M(x\_0,\; y\_0,\; z\_0)$ и плоскость задана уравнением $Ax+By+Cz+D=0Ax\; +\; By\; +\; Cz\; +\; D\; =\; 0$. Расстояние от точки до плоскости:

   $d=\frac{\mathrm{\mid }A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\mathrm{\mid }}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\mathrm{.}d\; =\; \backslash frac\{|Ax\_0\; +\; By\_0\; +\; Cz\_0\; +\; D|\}\{\backslash sqrt\{A^2\; +\; B^2\; +\; C^2\}\}.$

2. Угол между прямой и плоскостью: Если вектор направления прямой $\vec{d}\backslash vec\{d\}$ и нормальный вектор плоскости $\vec{n}\backslash vec\{n\}$ заданы, угол между прямой и плоскостью рассчитывается через их скалярное произведение:

   $\sin \varphi =\frac{\mathrm{\mid }\vec{d}\cdot \vec{n}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\vec{d}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }}\mathrm{.}\backslash sin\; \backslash phi\; =\; \backslash frac\{|\backslash vec\{d\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{n\}|\}\{|\backslash vec\{d\}|\; |\backslash vec\{n\}|\}.$

3. Угол между двумя плоскостями: Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами:

   $\cos \theta =\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{\mathrm{\mid }{\vec{n}}_1\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{\vec{n}}_2\mathrm{\mid }}\mathrm{.}\backslash cos\; \backslash theta\; =\; \backslash frac\{\backslash vec\{n\}\_1\; \backslash cdot\; \backslash vec\{n\}\_2\}\{|\backslash vec\{n\}\_1|\; |\backslash vec\{n\}\_2|\}.$

Примеры

Пример 1: Уравнение плоскости

Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку $A(1,2,3)A(1,\; 2,\; 3)$ и перпендикулярной вектору $\vec{n}=(2,-1,4)\backslash vec\{n\}\; =\; (2,\; -1,\; 4)$.

Решение: Уравнение плоскости:

где $(x_0,y_0,z_0)(x\_0,\; y\_0,\; z\_0)$ — точка на плоскости, а $\vec{n}=(A,B,C)\backslash vec\{n\}\; =\; (A,\; B,\; C)$ — нормальный вектор.

Подставим значения:

Раскроем скобки:

Ответ: Уравнение плоскости: $2x-y+4z-12=02x\; -\; y\; +\; 4z\; -\; 12\; =\; 0$.

Пример 2: Расстояние от точки до плоскости

Найдите расстояние от точки $M(1,2,3)M(1,\; 2,\; 3)$ до плоскости $x+2y+2z-6=0x\; +\; 2y\; +\; 2z\; -\; 6\; =\; 0$.

Решение: Используем формулу:

Подставим значения:

Ответ: Расстояние $d=\frac{5}{3}d\; =\; \backslash frac\{5\}\{3\}$.

Пример 3: Угол между плоскостями

Найдите угол между плоскостями $2x-y+z=02x\; -\; y\; +\; z\; =\; 0$ и $x+y+z=0x\; +\; y\; +\; z\; =\; 0$.

Решение: Нормальные векторы плоскостей:

• ${\vec{n}}_1=(2,-1,1)\backslash vec\{n\}\_1\; =\; (2,\; -1,\; 1)$,
• ${\vec{n}}_2=(1,1,1)\backslash vec\{n\}\_2\; =\; (1,\; 1,\; 1)$.

Используем формулу:

Вычислим скалярное произведение:

Длины векторов:

Подставим:

Угол:

Ответ: $\theta =\arccos \left(\frac{2}{3}\right)\backslash theta\; =\; \backslash arccos\backslash left(\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash right)$.

Задачи для закрепления

1. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки $A(1,0,0)A(1,\; 0,\; 0)$, $B(0,1,0)B(0,\; 1,\; 0)$, $C(0,0,1)C(0,\; 0,\; 1)$.
2. Вычислите расстояние от точки $M(2,-1,4)M(2,\; -1,\; 4)$ до плоскости $3x-4y+z+5=03x\; -\; 4y\; +\; z\; +\; 5\; =\; 0$.
3. Найдите угол между плоскостями $x+2y-z=0x\; +\; 2y\; -\; z\; =\; 0$ и $2x-y+z=02x\; -\; y\; +\; z\; =\; 0$.

Заключение

Плоскость — это один из базовых объектов геометрии. Знание её свойств, уравнений и формул помогает решать задачи, связанные с анализом взаимного расположения точек, прямых и других плоскостей в пространстве.