Интегралы

Интеграл — это обобщение понятия суммы для вычисления площадей, объёмов, длин кривых и других величин. Различают два основных типа интегралов: неопределённый интеграл и определённый интеграл.

Неопределённый интеграл

Определение

Неопределённый интеграл — это множество первообразных функции $f(x)f(x)$: $\int f(x)dx=F(x)+C,\backslash int\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; F(x)\; +\; C,$ где: $F(x)F(x)$ — первообразная функции $f(x)f(x)$, $CC$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

Свойства неопределённого интеграла

1. Линейность:

   $\int (af(x)+bg(x))dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx,\backslash int\; \backslash left(a\; f(x)\; +\; b\; g(x)\backslash right)\; \backslash ,\; dx\; =\; a\; \backslash int\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; +\; b\; \backslash int\; g(x)\; \backslash ,\; dx,$

   где $aa$ и $bb$ — константы.

2. Интеграл от производной:

   $\int f^{\mathrm{\prime }}(x)dx=f(x)+C\mathrm{.}\backslash int\; f\text{'}(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; f(x)\; +\; C.$

Определённый интеграл

Определение

Определённый интеграл функции $f(x)f(x)$ на промежутке $[a,b][a,\; b]$ равен пределу суммы площадей элементарных прямоугольников: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\sum }_{i=1}^{n}f(x_i)\mathrm{\Delta }x,\backslash int\_\{a\}^\{b\}\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; f(x\_i)\; \backslash Delta\; x,$ где $\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{n}\backslash Delta\; x\; =\; \backslash frac\{b\; -\; a\}\{n\}$ — длина элементарного отрезка.

Геометрический смысл

Определённый интеграл представляет собой площадь под графиком функции $f(x)f(x)$ между $x=ax\; =\; a$ и $x=bx\; =\; b$. Если , то площадь считается отрицательной.

Основные свойства определённого интеграла

1. Линейность:

   ${\int }_a^b(cf(x)+g(x))dx=c{\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx\mathrm{.}\backslash int\_a^b\; (c\; f(x)\; +\; g(x))\; \backslash ,\; dx\; =\; c\; \backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; +\; \backslash int\_a^b\; g(x)\; \backslash ,\; dx.$

2. Аддитивность:

   ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx\mathrm{.}\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash int\_a^c\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; +\; \backslash int\_c^b\; f(x)\; \backslash ,\; dx.$

3. Интеграл от константы:

   ${\int }_a^{b}Cdx=C(b-a)\mathrm{.}\backslash int\_a^b\; C\; \backslash ,\; dx\; =\; C(b\; -\; a).$

4. Чётность функции:

   • Если $f(x)f(x)$ чётная:

• Если $f(x)f(x)$ нечётная:

Основные интегралы

1. $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,n\mathrm{\ne }-1\backslash int\; x^n\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash frac\{x^\{n+1\}\}\{n+1\}\; +\; C,\; \backslash ,\; n\; \backslash neq\; -1$.
2. $\int \frac{1}{x}dx=\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+C\backslash int\; \backslash frac\{1\}\{x\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash ln|x|\; +\; C$.
3. $\int e^{x}dx=e^x+C\backslash int\; e^x\; \backslash ,\; dx\; =\; e^x\; +\; C$.
4. $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,a>0,a\mathrm{\ne }1\backslash int\; a^x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash frac\{a^x\}\{\backslash ln\; a\}\; +\; C,\; \backslash ,\; a\; >\; 0,\; a\; \backslash neq\; 1$.
5. $\int \sin xdx=-\cos x+C\backslash int\; \backslash sin\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; -\backslash cos\; x\; +\; C$.
6. $\int \cos xdx=\sin x+C\backslash int\; \backslash cos\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash sin\; x\; +\; C$.
7. $\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C\backslash int\; \backslash sec^2\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash tan\; x\; +\; C$.
8. $\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C\backslash int\; \backslash csc^2\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; -\backslash cot\; x\; +\; C$.

Теорема Ньютона-Лейбница

Определённый интеграл можно вычислить через первообразную:

где $F(x)F(x)$ — первообразная функции $f(x)f(x)$.

Примеры

Пример 1: Вычисление неопределённого интеграла

Решение: Используем линейность интеграла и правило степенного интегрирования:

Ответ: $x^3+x^2+x+Cx^3\; +\; x^2\; +\; x\; +\; C$.

Пример 2: Вычисление определённого интеграла

Решение:

1. Найдём первообразную:

   $\int (x^2+1)dx=\frac{x^3}{3}+x\mathrm{.}\backslash int\; (x^2\; +\; 1)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash frac\{x^3\}\{3\}\; +\; x.$

2. Вычислим значения в пределах:

   $F(2)=\frac{2^3}{3}+2=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3},F(0)=0.F(2)\; =\; \backslash frac\{2^3\}\{3\}\; +\; 2\; =\; \backslash frac\{8\}\{3\}\; +\; 2\; =\; \backslash frac\{14\}\{3\},\; \backslash quad\; F(0)\; =\; 0.$

3. Результат:

   ${\int }_0^2(x^2+1)dx=F(2)-F(0)=\frac{14}{3}\mathrm{.}\backslash int\_0^2\; (x^2\; +\; 1)\; \backslash ,\; dx\; =\; F(2)\; -\; F(0)\; =\; \backslash frac\{14\}\{3\}.$

Ответ: $\frac{14}{3}\backslash frac\{14\}\{3\}$.

Пример 3: Найти площадь под графиком

Вычислим ${\int }_0^{\pi }\sin xdx\backslash int\_0^\backslash pi\; \backslash sin\; x\; \backslash ,\; dx$.

Решение:

1. Найдём первообразную:

   $\int \sin xdx=-\cos x\mathrm{.}\backslash int\; \backslash sin\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; -\backslash cos\; x.$

2. Подставим пределы:

   $F(\pi )=-\cos \pi =1,F(0)=-\cos 0=-1.F(\backslash pi)\; =\; -\backslash cos\; \backslash pi\; =\; 1,\; \backslash quad\; F(0)\; =\; -\backslash cos\; 0\; =\; -1.$

3. Результат:

   ${\int }_0^{\pi }\sin xdx=1-(-1)=2.\backslash int\_0^\backslash pi\; \backslash sin\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; 1\; -\; (-1)\; =\; 2.$

Ответ: $22$.

Задачи для закрепления

1. Вычислите $\int (2x^3-x+4)dx\backslash int\; (2x^3\; -\; x\; +\; 4)\; \backslash ,\; dx$.
2. Найдите ${\int }_1^3(3x^2+2)dx\backslash int\_1^3\; (3x^2\; +\; 2)\; \backslash ,\; dx$.
3. Вычислите площадь под графиком функции $f(x)=e^{x}f(x)\; =\; e^x$ на интервале $[0,1][0,\; 1]$.
4. Докажите, что ${\int }_{-a}^a{x}^{3}dx=0\backslash int\_\{-a\}^a\; x^3\; \backslash ,\; dx\; =\; 0$.

Заключение

Интегралы — это фундаментальное понятие математического анализа, позволяющее решать задачи нахождения площадей, объёмов и других величин. Знание правил интегрирования и свойств интегралов делает этот инструмент универсальным для применения в математике, физике и инженерии.