Исследование функции с помощью производной

Производная функции — это основной инструмент для исследования её поведения. С её помощью можно определить: интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции (локальные максимумы и минимумы), точки перегиба, характер изменения графика.

Этапы исследования функции с помощью производной

Найти область определения функции

Определите, при каких значениях $xx$ функция $f(x)f(x)$ имеет смысл. Это поможет избежать ошибок при дальнейшем исследовании.

Найти производную функции $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$

Найдите первую производную $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$. Она позволяет исследовать:

• возрастание/убывание функции,
• критические точки (где $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)\; =\; 0$ или $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ не существует).

Найти критические точки

Решите уравнение $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)\; =\; 0$. Критические точки — это кандидаты на экстремумы.

Определить интервалы возрастания и убывания

Используя знак производной $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$:

• Если $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0f\text{'}(x)\; >\; 0$ на интервале, то $f(x)f(x)$ возрастает.
• Если на интервале, то $f(x)f(x)$ убывает.

Найти экстремумы функции

Используя изменение знака производной в критических точках:

• Если $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ меняет знак с $++$ на $--$, точка — локальный максимум.
• Если $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ меняет знак с $--$ на $++$, точка — локальный минимум.

Найти вторую производную $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}\text{'}(x)$ (при необходимости)

Вторая производная помогает:

• Определить выпуклость/вогнутость функции:
  • $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0f\text{'}\text{'}(x)\; >\; 0$ — график выпуклый вверх.
  • — график выпуклый вниз.
• Найти точки перегиба: это точки, где $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}\text{'}(x)\; =\; 0$ и меняет знак.

Пример исследования функции

Исследуем функцию $f(x)=x^3-6x^2+9x+1f(x)\; =\; x^3\; -\; 6x^2\; +\; 9x\; +\; 1$.

Шаг 1: Найдём область определения
Функция $f(x)f(x)$ определена на всей числовой прямой: $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.

Шаг 2: Найдём первую производную

Шаг 3: Найдём критические точки
Решим уравнение $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)\; =\; 0$:

Критические точки: $x=1x\; =\; 1$ и $x=3x\; =\; 3$.

Шаг 4: Определим интервалы возрастания и убывания
Рассмотрим знак $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ на интервалах $(-\mathrm{\infty },1)(-\backslash infty,\; 1)$, $(1,3)(1,\; 3)$, $(3,\mathrm{\infty })(3,\; \backslash infty)$:

• На $(-\mathrm{\infty },1)(-\backslash infty,\; 1)$: подставим $x=0x\; =\; 0$, $f^{\mathrm{\prime }}(0)=3\cdot 0^2-12\cdot 0+9=9>0f\text{'}(0)\; =\; 3\; \backslash cdot\; 0^2\; -\; 12\; \backslash cdot\; 0\; +\; 9\; =\; 9\; >\; 0$ (функция возрастает).
• На $(1,3)(1,\; 3)$: подставим $x=2x\; =\; 2$, (функция убывает).
• На $(3,\mathrm{\infty })(3,\; \backslash infty)$: подставим $x=4x\; =\; 4$, $f^{\mathrm{\prime }}(4)=3\cdot 4^2-12\cdot 4+9=21>0f\text{'}(4)\; =\; 3\; \backslash cdot\; 4^2\; -\; 12\; \backslash cdot\; 4\; +\; 9\; =\; 21\; >\; 0$ (функция возрастает).

Шаг 5: Найдём экстремумы функции

• В точке $x=1x\; =\; 1$: $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ меняет знак с $++$ на $--$ (локальный максимум).
• В точке $x=3x\; =\; 3$: $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ меняет знак с $--$ на $++$ (локальный минимум).

Вычислим значения функции в этих точках:

• $f(1)=1^3-6\cdot 1^2+9\cdot 1+1=5f(1)\; =\; 1^3\; -\; 6\; \backslash cdot\; 1^2\; +\; 9\; \backslash cdot\; 1\; +\; 1\; =\; 5$.
• $f(3)=3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3+1=1f(3)\; =\; 3^3\; -\; 6\; \backslash cdot\; 3^2\; +\; 9\; \backslash cdot\; 3\; +\; 1\; =\; 1$.

Ответ:

• Локальный максимум: $f(1)=5f(1)\; =\; 5$.
• Локальный минимум: $f(3)=1f(3)\; =\; 1$.

Шаг 6: Найдём вторую производную

Решим $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}\text{'}(x)\; =\; 0$:

На интервалах $(-\mathrm{\infty },2)(-\backslash infty,\; 2)$ и $(2,\mathrm{\infty })(2,\; \backslash infty)$ определим знак $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}\text{'}(x)$:

• На $(-\mathrm{\infty },2)(-\backslash infty,\; 2)$: $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=6\cdot 1-12=-6f\text{'}\text{'}(1)\; =\; 6\; \backslash cdot\; 1\; -\; 12\; =\; -6$ (график вогнутый вниз).
• На $(2,\mathrm{\infty })(2,\; \backslash infty)$: $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)=6\cdot 3-12=6f\text{'}\text{'}(3)\; =\; 6\; \backslash cdot\; 3\; -\; 12\; =\; 6$ (график выпуклый вверх).

Точка $x=2x\; =\; 2$ — точка перегиба.

Итог

• Область возрастания: $(-\mathrm{\infty },1)\cup (3,\mathrm{\infty })(-\backslash infty,\; 1)\; \backslash cup\; (3,\; \backslash infty)$.
• Область убывания: $(1,3)(1,\; 3)$.
• Локальный максимум: $f(1)=5f(1)\; =\; 5$.
• Локальный минимум: $f(3)=1f(3)\; =\; 1$.
• Точка перегиба: $x=2x\; =\; 2$.

Задачи для закрепления

1. Исследуйте функцию $f(x)=x^3-3x^2+4f(x)\; =\; x^3\; -\; 3x^2\; +\; 4$:

   • Найдите интервалы возрастания и убывания.
   • Найдите экстремумы.

2. Исследуйте функцию $f(x)=x^4-8x^2+10f(x)\; =\; x^4\; -\; 8x^2\; +\; 10$:

   • Найдите точки перегиба.
   • Найдите области выпуклости и вогнутости.

3. Определите, где функция $f(x)=\sin xf(x)\; =\; \backslash sin\; x$ возрастает и убывает на интервале $[0,2\pi ][0,\; 2\backslash pi]$.

Заключение

Исследование функции с помощью производной — это важный метод анализа поведения функции. Оно позволяет определить интервалы возрастания и убывания, экстремумы, точки перегиба и характер изменения графика. Этот метод широко применяется в математике, физике и других областях для решения задач оптимизации и анализа процессов.