Наибольшее и наименьшее значение функции

Введение

Одним из важных понятий в математике и, в частности, в анализе функций, является нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на определённом интервале. Это позволяет не только понять поведение функции, но и решить задачи, связанные с оптимизацией, физическими процессами, экономикой и другими сферами.

Что такое экстремумы функции?

Экстремум функции — это точка на графике функции, где функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения.

• Наибольшее значение функции на интервале называется максимумом.
• Наименьшее значение функции на интервале называется минимумом.

Экстремумы могут быть как локальными, так и глобальными:

• Локальный максимум (минимум) — значение функции больше (меньше) всех значений функции в некоторой окрестности.
• Глобальный максимум (минимум) — наибольшее (наименьшее) значение функции на всём интервале.

Классификация экстремумов

Локальные экстремумы

Локальный экстремум функции возникает в точке, если эта точка является максимальной или минимальной в некотором окрестности, но не обязательно на всём интервале.

Пример:

Для функции $f(x)=x^3-3x+1f(x)\; =\; x^3\; -\; 3x\; +\; 1$ точка $x=1x\; =\; 1$ является локальным минимумом.

Глобальные экстремумы

Глобальный экстремум — это наибольшее или наименьшее значение функции на всём её определённом интервале.

Пример:

Для функции $f(x)=x^{2}f(x)\; =\; x^2$ на интервале $[-2,2][-2,\; 2]$ глобальный минимум достигается в точке $x=0x\; =\; 0$.

Условия существования экстремумов

Теорема Ферма

Если функция $f(x)f(x)$ имеет локальный экстремум в точке $x_{0}x\_0$ и функция дифференцируема в этой точке, то производная функции в точке $x_{0}x\_0$ равна нулю:

Это условие называется условием первого порядка.

Теорема Ролля

Если функция $f(x)f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b][a,\; b]$, дифференцируема на интервале $(a,b)(a,\; b)$ и $f(a)=f(b)f(a)\; =\; f(b)$, то существует такая точка $x_{0}x\_0$ на интервале $(a,b)(a,\; b)$, что:

Как найти экстремумы функции?

Метод нахождения экстремумов

1. Найти производную функции $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$.
2. Приравнять производную к нулю: решить уравнение $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)\; =\; 0$ для нахождения критических точек.
3. Проверить знак производной: для каждого найденного значения $x_{0}x\_0$ проверить, является ли точка максимумом или минимумом.

Пример нахождения экстремума

Возьмём функцию:

1. Найдём производную:

2. Приравняем её к нулю:

Решаем:

3. Для проверки типа экстремума можно воспользоваться вторым условием или анализом знаков производной.

Второе условие для экстремумов

Чтобы определить, является ли критическая точка $x_{0}x\_0$ максимумом или минимумом, используем вторую производную функции $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}\text{'}(x)$:

• Если $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x_0)>0f\text{'}\text{'}(x\_0)\; >\; 0$, то в точке $x_{0}x\_0$ локальный минимум.
• Если , то в точке $x_{0}x\_0$ локальный максимум.
• Если $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x_0)=0f\text{'}\text{'}(x\_0)\; =\; 0$, то необходимо использовать другие методы для анализа экстремума.

Глобальные экстремумы

Глобальные экстремумы на ограниченных интервалах

Если функция $f(x)f(x)$ ограничена на интервале $[a,b][a,\; b]$, то она обязательно достигает своего глобального максимума и минимума на этом интервале.

Для нахождения глобальных экстремумов на отрезке:

1. Находим производную и критические точки внутри интервала.
2. Проверяем значения функции в критических точках и на концах интервала.

Пример нахождения глобального экстремума

Пусть дана функция:

1. Находим производную:

2. Приравняем производную к нулю:

3. Проверим значения функции:

• $f(0)=0^2-4\cdot 0+3=3f(0)\; =\; 0^2\; -\; 4\; \backslash cdot\; 0\; +\; 3\; =\; 3$
• $f(3)=3^2-4\cdot 3+3=0f(3)\; =\; 3^2\; -\; 4\; \backslash cdot\; 3\; +\; 3\; =\; 0$
• $f(2)=2^2-4\cdot 2+3=-1f(2)\; =\; 2^2\; -\; 4\; \backslash cdot\; 2\; +\; 3\; =\; -1$

Глобальный минимум: $f(2)=-1f(2)\; =\; -1$, глобальный максимум: $f(0)=3f(0)\; =\; 3$.

Итоговая таблица

Заключение

Знание методов нахождения наибольшего и наименьшего значения функции помогает в решении множества практических задач. Понимание экстремумов необходимо для анализа графиков функций, оптимизации и многих других математических применений.