Непрерывность функции

Функция $f(x)f(x)$ называется непрерывной в точке $x_{0}x\_0$, если выполняются три условия:

1. Функция определена в точке $x_{0}x\_0$:

   $f(x_0)\text{существует}\mathrm{.}f(x\_0)\; \backslash ,\; \backslash text\{существует\}.$

2. Существует предел функции в точке $x_{0}x\_0$:

   ${\lim }_{x\to x_0}f(x)\text{существует}\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; x\_0\}\; f(x)\; \backslash ,\; \backslash text\{существует\}.$

3. Значение функции совпадает с её пределом:

   ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; x\_0\}\; f(x)\; =\; f(x\_0).$

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция не является непрерывной в данной точке.

Графический смысл непрерывности

• Непрерывная функция — это функция, график которой можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги.
• Точки разрыва на графике соответствуют местам, где функция теряет свою непрерывность.

Типы разрывов

1. Точка разрыва первого рода:
   Существует конечный левый и правый предел, но они не равны или не совпадают со значением функции.

2. Точка разрыва второго рода:
   Левый или правый предел не существует или стремится к бесконечности.

3. Устранимый разрыв:
   Левый и правый пределы равны, но значение функции не определено или не совпадает с ними.

Непрерывность на промежутке

Функция называется непрерывной на промежутке $[a,b][a,\; b]$, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

• На концах промежутка рассматривается односторонний предел:
  • Для $x=ax\; =\; a$: ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a^+\}\; f(x)\; =\; f(a)$.
  • Для $x=bx\; =\; b$: ${\lim }_{x\to b^{-}}f(x)=f(b)\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; b^-\}\; f(x)\; =\; f(b)$.

Свойства непрерывных функций

1. Арифметические операции:
   Сумма, разность, произведение и частное (где знаменатель не равен нулю) непрерывных функций тоже непрерывны.

2. Составная функция:
   Если функции $f(x)f(x)$ и $g(x)g(x)$ непрерывны, то их композиция $h(x)=f(g(x))h(x)\; =\; f(g(x))$ тоже непрерывна.

3. Теорема о промежуточном значении:
   Если функция $f(x)f(x)$ непрерывна на $[a,b][a,\; b]$ и , то существует $c\in (a,b)c\; \backslash in\; (a,\; b)$, для которого $f(c)=0f(c)\; =\; 0$.

Примеры

Пример 1: Проверка непрерывности

Проверим непрерывность функции $f(x)=x^{2}f(x)\; =\; x^2$ в точке $x_0=2x\_0\; =\; 2$.

Решение:

1. Функция определена в $x_{0}x\_0$:

   $f(2)=2^2=4.f(2)\; =\; 2^2\; =\; 4.$

2. Предел функции:

   ${\lim }_{x\to 2}{x}^2=2^2=4.\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 2\}\; x^2\; =\; 2^2\; =\; 4.$

3. Значение функции совпадает с пределом:

   ${\lim }_{x\to 2}{x}^2=f(2)=4.\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 2\}\; x^2\; =\; f(2)\; =\; 4.$

Вывод: $f(x)f(x)$ непрерывна в точке $x_0=2x\_0\; =\; 2$.

Пример 2: Устранимый разрыв

Функция $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}f(x)\; =\; \backslash frac\{x^2\; -\; 1\}\{x\; -\; 1\}$ имеет разрыв в $x_0=1x\_0\; =\; 1$.

Решение:

1. Упростим $f(x)f(x)$:

   $f(x)=x+1,x\mathrm{\ne }1.f(x)\; =\; x\; +\; 1,\; \backslash ,\; x\; \backslash neq\; 1.$

2. Найдём предел:

   ${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}(x+1)=2.\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 1\}\; f(x)\; =\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 1\}\; (x\; +\; 1)\; =\; 2.$

3. В точке $x_0=1x\_0\; =\; 1$ функция не определена, но предел существует. Следовательно, разрыв устраним.

Вывод: Разрыв в точке $x_0=1x\_0\; =\; 1$ устраним.

Задачи для закрепления

1. Проверьте непрерывность функции $f(x)=\sin xf(x)\; =\; \backslash sin\; x$ в точке $x_0=\frac{\pi }{4}x\_0\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$.
2. Найдите точки разрыва функции $f(x)=\frac{1}{x-2}f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{x-2\}$.
3. Устраним ли разрыв функции $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}f(x)\; =\; \backslash frac\{x^2\; -\; 4\}\{x\; -\; 2\}$ в точке $x_0=2x\_0\; =\; 2$?
4. Определите, непрерывна ли функция $f(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }f(x)\; =\; |x|$ на всей числовой оси.

Заключение

Непрерывность функции — это одно из ключевых понятий математического анализа. Знание свойств и типов разрывов позволяет исследовать поведение функций, строить их графики и решать прикладные задачи.