Производная и её применение

Производная функции $f(x)f(x)$ в точке $x=ax\; =\; a$ — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

Производная характеризует скорость изменения функции в данной точке.

Геометрический смысл производной

Производная $f^{\mathrm{\prime }}(a)f\text{'}(a)$ — это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x=ax\; =\; a$:

• Если $f^{\mathrm{\prime }}(a)>0f\text{'}(a)\; >\; 0$, функция возрастает в окрестности $x=ax\; =\; a$.
• Если , функция убывает в окрестности $x=ax\; =\; a$.

Основные правила дифференцирования

1. Производная константы:

   • $(C{)}^{\mathrm{\prime }}=0.(C)\text{'}\; =\; 0.$

2. Производная степенной функции:

   • $(x^n{)}^{\mathrm{\prime }}=n\cdot x^{n-1}\mathrm{.}(x^n)\text{'}\; =\; n\; \backslash cdot\; x^\{n-1\}.$

3. Производная суммы:

   • $(f(x)+g(x){)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(x)+g^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}(f(x)\; +\; g(x))\text{'}\; =\; f\text{'}(x)\; +\; g\text{'}(x).$

4. Производная произведения:

   • $(f(x)\cdot g(x){)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}(f(x)\; \backslash cdot\; g(x))\text{'}\; =\; f\text{'}(x)\; \backslash cdot\; g(x)\; +\; f(x)\; \backslash cdot\; g\text{'}(x).$

5. Производная частного:

   • ${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\mathrm{\prime }}(x)}{[g(x){]}^2}\mathrm{.}\backslash left(\backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}\backslash right)\text{'}\; =\; \backslash frac\{f\text{'}(x)\; \backslash cdot\; g(x)\; -\; f(x)\; \backslash cdot\; g\text{'}(x)\}\{[g(x)]^2\}.$

6. Производная сложной функции (правило цепочки):

   • $(f(g(x)){)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(g(x))\cdot g^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}(f(g(x)))\text{'}\; =\; f\text{'}(g(x))\; \backslash cdot\; g\text{'}(x).$

7. Производная тригонометрических функций:

   • $(\sin x{)}^{\mathrm{\prime }}=\cos x(\backslash sin\; x)\text{'}\; =\; \backslash cos\; x$,
   • $(\cos x{)}^{\mathrm{\prime }}=-\sin x(\backslash cos\; x)\text{'}\; =\; -\backslash sin\; x$,
   • $(\tan x{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{{\cos }^{2}x},\cos x\mathrm{\ne }0(\backslash tan\; x)\text{'}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash cos^2\; x\},\; \backslash quad\; \backslash cos\; x\; \backslash neq\; 0$,
   • $(\cot x{)}^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x},\sin x\mathrm{\ne }0(\backslash cot\; x)\text{'}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash sin^2\; x\},\; \backslash quad\; \backslash sin\; x\; \backslash neq\; 0$.

Применение производной

Исследование функции

Производная используется для анализа поведения функции:

• Точки возрастания и убывания:
  • $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0f\text{'}(x)\; >\; 0$ — функция возрастает.
  • — функция убывает.
• Экстремумы:
  • В точках, где $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)\; =\; 0$ или $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ не существует, может быть максимум или минимум.

Геометрия

Производная используется для нахождения:

• Уравнения касательной к графику функции:$y=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)+f(a)\mathrm{.}y\; =\; f\text{'}(a)(x\; -\; a)\; +\; f(a).$
• Уравнения нормали к графику функции:$y=-\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(a)}(x-a)+f(a)\mathrm{.}y\; =\; -\backslash frac\{1\}\{f\text{'}(a)\}(x\; -\; a)\; +\; f(a).$

Экономика

Производная применяется для анализа:

• Максимизации прибыли.
• Минимизации затрат.
• Вычисления предельных затрат или дохода.

Физика

Производная используется для:

• Нахождения скорости как производной координаты:$v(t)=s^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{.}v(t)\; =\; s\text{'}(t).$
• Нахождения ускорения как производной скорости:$a(t)=v^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{.}a(t)\; =\; v\text{'}(t).$

Информатика

Производные используются в методах оптимизации (например, градиентный спуск).

Примеры

Пример 1: Найти производную

Найдите производную функции:

Решение: Применим правило дифференцирования:

Пример 2: Найти точки экстремума

Рассмотрим функцию:

Решение:

1. Найдём $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$:

   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-6x\mathrm{.}f\text{'}(x)\; =\; 3x^2\; -\; 6x.$

2. Найдём точки, где $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)\; =\; 0$:

   $3x^2-6x=0\Rightarrow x(x-2)=0.3x^2\; -\; 6x\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x(x\; -\; 2)\; =\; 0.$

   Точки: $x=0x\; =\; 0$ и $x=2x\; =\; 2$.

3. Проверим знак производной:

При $x\in (-\mathrm{\infty },0)x\; \backslash in\; (-\backslash infty,\; 0)$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0f\text{'}(x)\; >\; 0$ (функция возрастает).

При $x\in (0,2)x\; \backslash in\; (0,\; 2)$, (функция убывает).

При $x\in (2,\mathrm{\infty })x\; \backslash in\; (2,\; \backslash infty)$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0f\text{'}(x)\; >\; 0$ (функция возрастает).

Ответ:

• $x=0x\; =\; 0$ — максимум.
• $x=2x\; =\; 2$ — минимум.

Пример