Пределы последовательностей и функций

Предел последовательности

Число $aa$ называется пределом последовательности $\{a_n\}\backslash \{a\_n\backslash \}$, если члены последовательности приближаются к $aa$ при $n\to \mathrm{\infty }n\; \backslash to\; \backslash infty$. Это записывается как:

Формально:

Свойства пределов последовательностей

1. Единственность:

   • Если предел существует, то он единственный.

2. Линейность:

   • ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(a_n+b_n)={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n+{\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n\mathrm{.}\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; (a\_n\; +\; b\_n)\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; +\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; b\_n.$
   • ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(c\cdot a_n)=c\cdot {\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n,c\in \mathbb{R}\mathrm{.}\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; (c\; \backslash cdot\; a\_n)\; =\; c\; \backslash cdot\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n,\; \backslash ,\; c\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}.$

3. Произведение:

   • ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(a_n\cdot b_n)={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n\cdot {\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n\mathrm{.}\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; (a\_n\; \backslash cdot\; b\_n)\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; \backslash cdot\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; b\_n.$

4. Частное:

   • ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{a_n}{b_n}=\frac{{\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n}{{\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n},\text{если }{\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{b}_n\mathrm{\ne }0.\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}\; =\; \backslash frac\{\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\}\{\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; b\_n\},\; \backslash quad\; \backslash text\{если\; \}\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; b\_n\; \backslash neq\; 0.$

5. Монотонные последовательности:

   • Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится.
   • Если последовательность монотонно убывает и ограничена снизу, то она сходится.

Примеры

1. Найдём предел последовательности:

   $a_n=\frac{1}{n}\mathrm{.}a\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}.$

   Решение:

   ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=0.\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; =\; 0.$

2. Найдём предел последовательности:

   $a_n=\frac{2n^2+3n}{n^2+1}\mathrm{.}a\_n\; =\; \backslash frac\{2n^2\; +\; 3n\}\{n^2\; +\; 1\}.$

   Решение: Разделим числитель и знаменатель на $n^{2}n^2$:

   ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{2n^2+3n}{n^2+1}={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n^2}}=\frac{2}{1}=2.\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{2n^2\; +\; 3n\}\{n^2\; +\; 1\}\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{2\; +\; \backslash frac\{3\}\{n\}\}\{1\; +\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{1\}\; =\; 2.$

Предел функции

Определение

Число $LL$ называется пределом функции $f(x)f(x)$ в точке $x=ax\; =\; a$, если значения функции приближаются к $LL$ при $x\to ax\; \backslash to\; a$. Это записывается как:

Формально:

Односторонние пределы

• Слева:${\lim }_{x\to a-}f(x)\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a-\}\; f(x).$
• Справа:${\lim }_{x\to a+}f(x)\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a+\}\; f(x).$

Предел существует только в том случае, если:

Бесконечный предел

Если значения функции $f(x)f(x)$ увеличиваются безгранично при $x\to ax\; \backslash to\; a$, то пишут:

Основные свойства пределов функций

1. Линейность:

   ${\lim }_{x\to a}[f(x)+g(x)]={\lim }_{x\to a}f(x)+{\lim }_{x\to a}g(x)\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; [f(x)\; +\; g(x)]\; =\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; f(x)\; +\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; g(x).$

2. Произведение:

   ${\lim }_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]={\lim }_{x\to a}f(x)\cdot {\lim }_{x\to a}g(x)\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; [f(x)\; \backslash cdot\; g(x)]\; =\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; f(x)\; \backslash cdot\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; g(x).$

3. Частное:

   ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{{\lim }_{x\to a}f(x)}{{\lim }_{x\to a}g(x)},\text{если }{\lim }_{x\to a}g(x)\mathrm{\ne }0.\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; \backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}\; =\; \backslash frac\{\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; f(x)\}\{\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; g(x)\},\; \backslash quad\; \backslash text\{если\; \}\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; g(x)\; \backslash neq\; 0.$

4. Предел функции при $x\to \mathrm{\infty }x\; \backslash to\; \backslash infty$: Если $x\to \mathrm{\infty }x\; \backslash to\; \backslash infty$, значения $f(x)f(x)$ стремятся к $LL$, то:

   ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)=L\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; f(x)\; =\; L.$

Примеры

1. Найдём предел функции:

   ${\lim }_{x\to 2}(x^2-3x+2)\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 2\}\; (x^2\; -\; 3x\; +\; 2).$

   Решение: Подставляем $x=2x\; =\; 2$:

   ${\lim }_{x\to 2}(x^2-3x+2)=4-6+2=0.\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 2\}\; (x^2\; -\; 3x\; +\; 2)\; =\; 4\; -\; 6\; +\; 2\; =\; 0.$

2. Найдём предел функции:

   ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{5x+2}{3x-1}\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{5x\; +\; 2\}\{3x\; -\; 1\}.$

   Решение: Разделим числитель и знаменатель на $xx$:

   ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{5x+2}{3x-1}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{5+\frac{2}{x}}{3-\frac{1}{x}}=\frac{5}{3}\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{5x\; +\; 2\}\{3x\; -\; 1\}\; =\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{5\; +\; \backslash frac\{2\}\{x\}\}\{3\; -\; \backslash frac\{1\}\{x\}\}\; =\; \backslash frac\{5\}\{3\}.$

Применение пределов

1. Математика:

   • Вычисление производных и интегралов.

2. Физика:

   • Анализ мгновенной скорости и ускорения.

3. Экономика:

   • Исследование поведения функций затрат и прибыли на больших интервалах.

4. Биология:

   • Исследование предельного роста популяций.

Задачи для закрепления

1. Найдите предел последовательности:

   $a_n=\frac{2n+1}{n^2}\mathrm{.}a\_n\; =\; \backslash frac\{2n\; +\; 1\}\{n^2\}.$

2. Найдите предел функции:

   ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{x^2-3x+1}{2x^2+5}\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{x^2\; -\; 3x\; +\; 1\}\{2x^2\; +\; 5\}.$

3. Вычислите предел:

   ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}.$

4. Найдите предел функции:

   ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\sqrt{x^2+x}-x\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash sqrt\{x^2\; +\; x\}\; -\; x.$