Точки разрыва

Точка разрыва функции — это точка $x_{0}x\_0$, в которой функция $f(x)f(x)$ не является непрерывной, то есть хотя бы одно из условий непрерывности не выполняется:

1. Функция не определена в точке $x_{0}x\_0$.
2. Левый и правый пределы в точке $x_{0}x\_0$ не существуют или не равны.
3. Значение функции в точке $x_{0}x\_0$ не равно пределу.

Классификация точек разрыва

1. Точка разрыва первого рода

Точка $x_{0}x\_0$ является точкой разрыва первого рода, если:

1. Левый (${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; x\_0^-\}\; f(x)$) и правый (${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; x\_0^+\}\; f(x)$) пределы существуют, но не равны:${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)\mathrm{\ne }{\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; x\_0^-\}\; f(x)\; \backslash neq\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; x\_0^+\}\; f(x).$

Пример:

Для $x_0=0x\_0\; =\; 0$:

Пределы существуют, но не равны.

2. Точка разрыва второго рода

Точка $x_{0}x\_0$ является точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или стремится к бесконечности.

Пример:

Для $x_0=0x\_0\; =\; 0$:

Один из пределов не существует.

3. Устранимый разрыв

Точка $x_{0}x\_0$ является точкой устранимого разрыва, если:

1. Левый и правый пределы существуют и равны:${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=A,\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; x\_0^-\}\; f(x)\; =\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; x\_0^+\}\; f(x)\; =\; A,$
2. Но значение функции $f(x_0)f(x\_0)$ либо не определено, либо не совпадает с этим пределом.

Пример:

Для $x_0=0x\_0\; =\; 0$:

Значение функции $f(0)=1f(0)\; =\; 1$ не совпадает с пределом.

Геометрический смысл разрывов

1. Точка разрыва первого рода:
   На графике функция имеет “скачок” — значение функции в точке изменяется скачкообразно.

2. Точка разрыва второго рода:
   На графике разрыв выглядит как “разрыв с бесконечностью” или неопределённость.

3. Устранимый разрыв:
   На графике видна “дырка”, которую можно устранить, если правильно определить значение функции в точке.

Примеры

Пример 1: Найти тип разрыва

Для $x_0=0x\_0\; =\; 0$:

1. Левый предел:${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=0+1=1.\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 0^-\}\; f(x)\; =\; 0\; +\; 1\; =\; 1.$
2. Правый предел:${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=0^2=0.\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 0^+\}\; f(x)\; =\; 0^2\; =\; 0.$
3. Пределы не равны: ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)\mathrm{\ne }{\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 0^-\}\; f(x)\; \backslash neq\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 0^+\}\; f(x)$.

Ответ: $x_0=0x\_0\; =\; 0$ — точка разрыва первого рода.

Пример 2: Устранимый разрыв

1. Упростим функцию для $x\mathrm{\ne }1x\; \backslash neq\; 1$:$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1.f(x)\; =\; \backslash frac\{x^2\; -\; 1\}\{x\; -\; 1\}\; =\; x\; +\; 1.$
2. Найдём предел:${\lim }_{x\to 1}f(x)=1+1=2.\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 1\}\; f(x)\; =\; 1\; +\; 1\; =\; 2.$
3. Значение функции совпадает с пределом: разрыв устраним.

Ответ: Устранимый разрыв в $x_0=1x\_0\; =\; 1$.

Задачи для закрепления

1. Определите тип разрыва для функции:

2. Найдите точки разрыва функции:

   $f(x)=\frac{1}{x}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\}.$

3. Докажите, что разрыв функции $f(x)=\sin x\mathrm{/}xf(x)\; =\; \backslash sin\; x\; /\; x$ в точке $x=0x\; =\; 0$ устраним.

Заключение

Точки разрыва — это важный инструмент анализа поведения функций. Знание их классификации и свойств позволяет проводить исследование функций и описывать их поведение вблизи критических точек.