Свойства непрерывных функций

1. Арифметические операции с непрерывными функциями

Если $f(x)f(x)$ и $g(x)g(x)$ непрерывны в точке $x_{0}x\_0$, то:

1. $f(x)+g(x)f(x)\; +\; g(x)$ — непрерывна в $x_{0}x\_0$,
2. $f(x)-g(x)f(x)\; -\; g(x)$ — непрерывна в $x_{0}x\_0$,
3. $f(x)\cdot g(x)f(x)\; \backslash cdot\; g(x)$ — непрерывна в $x_{0}x\_0$,
4. $\frac{f(x)}{g(x)}\backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}$ — непрерывна в $x_{0}x\_0$, если $g(x_0)\mathrm{\ne }0g(x\_0)\; \backslash neq\; 0$.

2. Непрерывность элементарных функций

Элементарные функции непрерывны на всех своих областях определения:

• Константа $CC$,
• Многочлен $P(x)P(x)$,
• Тригонометрические функции ($\sin x\backslash sin\; x$, $\cos x\backslash cos\; x$, $\tan x\backslash tan\; x$, $\cot x\backslash cot\; x$),
• Экспонента $e^{x}e^x$ и логарифм $\ln x\backslash ln\; x$,
• Степенные функции $x^{n}x^n$, где $n\in \mathbb{R}n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.

3. Составная функция

Если $f(x)f(x)$ непрерывна в точке $x_{0}x\_0$, а $g(y)g(y)$ непрерывна в точке $y=f(x_0)y\; =\; f(x\_0)$, то составная функция $h(x)=g(f(x))h(x)\; =\; g(f(x))$ также непрерывна в точке $x_{0}x\_0$.

4. Непрерывность на интервале

Если функция $f(x)f(x)$ непрерывна на замкнутом интервале $[a,b][a,\; b]$, то:

1. Функция достигает максимума и минимума на $[a,b][a,\; b]$:

   $\mathrm{\exists }{x}_{\text{max}},x_{\text{min}}\in [a,b]:f(x_{\text{max}})\ge f(x)\ge f(x_{\text{min}})\mathrm{.}\backslash exists\; x\_\{\backslash text\{max\}\},\; x\_\{\backslash text\{min\}\}\; \backslash in\; [a,\; b]:\; \backslash ,\; f(x\_\{\backslash text\{max\}\})\; \backslash geq\; f(x)\; \backslash geq\; f(x\_\{\backslash text\{min\}\}).$

2. Функция принимает все значения между $f(a)f(a)$ и $f(b)f(b)$ (теорема о промежуточных значениях):

   $\mathrm{\forall }y\in [f(a),f(b)],\mathrm{\exists }c\in [a,b]:f(c)=y\mathrm{.}\backslash forall\; y\; \backslash in\; [f(a),\; f(b)],\; \backslash ,\; \backslash exists\; c\; \backslash in\; [a,\; b]:\; f(c)\; =\; y.$

5. Непрерывность и пределы

Если функция $f(x)f(x)$ непрерывна в точке $x_{0}x\_0$, то предел функции равен её значению:

6. Чётность и нечётность

• Если функция $f(x)f(x)$ чётная (то есть $f(-x)=f(x)f(-x)\; =\; f(x)$), то она непрерывна в точке $x=0x\; =\; 0$ и симметрична относительно оси $OyOy$.
• Если функция $f(x)f(x)$ нечётная (то есть $f(-x)=-f(x)f(-x)\; =\; -f(x)$), то она непрерывна в точке $x=0x\; =\; 0$ и симметрична относительно начала координат.

Примеры

Пример 1: Непрерывность суммы

Докажите, что функция $f(x)=x^2+\sin xf(x)\; =\; x^2\; +\; \backslash sin\; x$ непрерывна на $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$.

Решение:

1. Многочлен $x^{2}x^2$ непрерывен на всей числовой оси.
2. Функция $\sin x\backslash sin\; x$ непрерывна на $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$.
3. Сумма двух непрерывных функций также непрерывна.

Ответ: $f(x)f(x)$ непрерывна на $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$.

Пример 2: Теорема о промежуточных значениях

Пусть $f(x)=x^3-4xf(x)\; =\; x^3\; -\; 4x$ непрерывна на $[-2,2][-2,\; 2]$. Докажите, что существует $c\in [-2,2]c\; \backslash in\; [-2,\; 2]$, такое что $f(c)=0f(c)\; =\; 0$.

Решение:

1. $f(x)f(x)$ — многочлен, значит, непрерывен на $[-2,2][-2,\; 2]$.
2. Вычислим значения:$f(-2)=(-2{)}^3-4(-2)=-8+8=0,f(2)=8-8=0.f(-2)\; =\; (-2)^3\; -\; 4(-2)\; =\; -8\; +\; 8\; =\; 0,\; \backslash quad\; f(2)\; =\; 8\; -\; 8\; =\; 0.$
3. По теореме о промежуточных значениях, существует $c\in [-2,2]c\; \backslash in\; [-2,\; 2]$, для которого $f(c)=0f(c)\; =\; 0$.

Ответ: $c=-2c\; =\; -2$ или $c=2c\; =\; 2$.

Пример 3: Непрерывность произведения

Проверьте непрерывность функции $f(x)=x^2\cdot \ln xf(x)\; =\; x^2\; \backslash cdot\; \backslash ln\; x$ на $(0,\mathrm{\infty })(0,\; \backslash infty)$.

Решение:

1. Функция $x^{2}x^2$ непрерывна на $(0,\mathrm{\infty })(0,\; \backslash infty)$.
2. Функция $\ln x\backslash ln\; x$ непрерывна на $(0,\mathrm{\infty })(0,\; \backslash infty)$.
3. Произведение двух непрерывных функций также непрерывно.

Ответ: $f(x)f(x)$ непрерывна на $(0,\mathrm{\infty })(0,\; \backslash infty)$.

Задачи для закрепления

1. Проверьте, является ли функция $f(x)=\frac{\sin x}{x}f(x)\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}$ непрерывной в точке $x=0x\; =\; 0$.
2. Докажите, что функция $f(x)=e^x+\ln (x+1)f(x)\; =\; e^x\; +\; \backslash ln(x\; +\; 1)$ непрерывна на $[-1,\mathrm{\infty })[-1,\; \backslash infty)$.
3. Найдите точки разрыва функции $f(x)=\frac{1}{x-1}f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\; -\; 1\}$.
4. Докажите, что многочлен $P(x)=x^3-3x+1P(x)\; =\; x^3\; -\; 3x\; +\; 1$ принимает значение $00$ на промежутке $[-2,2][-2,\; 2]$.

Заключение

Непрерывные функции обладают рядом полезных свойств, таких как наличие предела, выполнение теоремы о промежуточных значениях и возможность применения к ним арифметических операций. Понимание непрерывности играет ключевую роль в исследовании поведения функций и решении прикладных задач.