Аксиомы порядка

Аксиомы порядка — это аксиомы, которые определяют порядок расположения точек на прямой и их взаимное положение. Они являются основой для изучения порядка в геометрии и анализа отношений между точками, прямыми и плоскостями.

Основные аксиомы порядка

1. Аксиома расположения трёх точек на прямой

Формулировка:
На прямой из трёх различных точек одна и только одна лежит между двумя другими.

Значение:
Аксиома утверждает, что среди любых трёх точек на одной прямой можно однозначно выделить центральную точку.

Пример:
На прямой $ABAB$ с точками $AA$, $BB$ и $CC$, если $AA$ лежит между $BB$ и $CC$, то это выполняется в одной из конфигураций:

• $B-A-CB\; -\; A\; -\; C$,
• $C-A-BC\; -\; A\; -\; B$.

2. Аксиома порядка для точек на отрезке

Формулировка:
Если точка $CC$ лежит между точками $AA$ и $BB$, то длины отрезков $ACAC$ и $CBCB$ в сумме равны длине отрезка $ABAB$:

Значение:
Эта аксиома позволяет установить связь между положением точки на отрезке и длинами отрезков.

Пример:
Если точка $CC$ лежит между $AA$ и $BB$, и $AC=3AC\; =\; 3$, а $CB=5CB\; =\; 5$, то $AB=3+5=8AB\; =\; 3\; +\; 5\; =\; 8$.

3. Аксиома разделения плоскости

Формулировка:
Любая прямая на плоскости делит плоскость на две полуплоскости. Любые две точки, лежащие по одну сторону от прямой, можно соединить отрезком, который не пересекает прямую.

Значение:
Эта аксиома вводит понятие полуплоскости и упорядочивает точки на плоскости относительно прямой.

Пример:
Если прямая $ll$ делит плоскость на две полуплоскости $\alpha \backslash alpha$ и $\beta \backslash beta$, то точка $AA$ лежит в $\alpha \backslash alpha$, а точка $BB$ в $\beta \backslash beta$, если отрезок $ABAB$ пересекает прямую $ll$.

4. Аксиома разделения пространства

Формулировка:
Любая плоскость делит пространство на две полупространства. Любые две точки, лежащие по одну сторону от плоскости, можно соединить отрезком, который не пересекает плоскость.

Значение:
Эта аксиома вводит порядок для точек пространства относительно плоскости.

Пример:
Если плоскость $\pi \backslash pi$ делит пространство на полупространства $\alpha \backslash alpha$ и $\beta \backslash beta$, то точки $AA$ и $BB$ лежат в одном полупространстве, если отрезок $ABAB$ не пересекает плоскость $\pi \backslash pi$.

Свойства, вытекающие из аксиом порядка

1. Линейность:

   • Любая прямая упорядочивает точки так, что их можно расположить последовательно.

2. Сумма длин отрезков:

   • Если точка делит отрезок, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей.

3. Порядок на плоскости и в пространстве:

   • Прямая делит плоскость, а плоскость делит пространство на части, между которыми существует чёткое разграничение.

Примеры

Пример 1: Проверка суммы длин отрезков

На прямой $ABAB$ точка $CC$ делит отрезок $ABAB$ на два отрезка. Если $AC=4AC\; =\; 4$, $CB=6CB\; =\; 6$, найдите $ABAB$.

Решение: Согласно аксиоме порядка:

Ответ: $AB=10AB\; =\; 10$.

Пример 2: Полуплоскости

Прямая $ll$ делит плоскость на полуплоскости $\alpha \backslash alpha$ и $\beta \backslash beta$. Точки $AA$ и $BB$ лежат в одной полуплоскости. Будет ли отрезок $ABAB$ пересека