Точки, прямые, углы

Точки, прямые и углы — это базовые понятия геометрии, которые не требуют строгих определений и принимаются как аксиомы. Они используются для построения всех геометрических фигур и изучения их свойств.

Точка

Точка — это основное геометрическое понятие, которое не имеет длины, ширины или высоты. Точка обозначает положение в пространстве.

Обозначается заглавными латинскими буквами: $AA$, $BB$, $CC$.

Свойства точки

1. Через две различные точки можно провести одну и только одну прямую.
2. Точка может принадлежать прямой, плоскости или пространству.

Прямая

Прямая — это бесконечная линия, не имеющая толщины. Она проходит через любые две точки.

Обозначается:

• Двумя буквами, указывающими точки на прямой: $ABAB$.
• Маленькой латинской буквой: $ll$, $mm$.

Свойства прямой

1. Через две точки можно провести одну и только одну прямую.
2. Прямая бесконечна и не имеет начала или конца.
3. На одной прямой лежит бесконечно много точек.

Отрезок

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, называемыми концами отрезка.

Обозначается: $ABAB$, где $AA$ и $BB$ — концы отрезка.

Свойства отрезка

1. Длина отрезка — это расстояние между его концами.
2. Отрезок имеет начало и конец, в отличие от прямой.

Луч

Луч — это часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца.

Обозначается: $ABAB$, где $AA$ — начало луча, а $BB$ — любая точка на луче.

Угол

Угол — это фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

Обозначается: $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$, где: $AA$ и $CC$ — точки на сторонах угла, $BB$ — вершина угла.

Виды углов

1. Острый угол:

2. Прямой угол:

   $\alpha =90^{\circ }\mathrm{.}\backslash alpha\; =\; 90^\backslash circ.$

3. Тупой угол:

4. Развёрнутый угол:

   $\alpha =180^{\circ }\mathrm{.}\backslash alpha\; =\; 180^\backslash circ.$

Измерение углов

• Единицы измерения углов: градусы (${}^{\circ }^\backslash circ$), радианы.
• Для измерения угла используется транспортир.

Свойства точек, прямых и углов

1. Через две точки можно провести одну и только одну прямую.
2. Два угла называются равными, если они имеют одинаковую меру.
3. Развёрнутый угол равен $180^{\circ }180^\backslash circ$.
4. Прямой угол равен $90^{\circ }90^\backslash circ$.

Примеры

Пример 1: Определение вида угла

Угол $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ равен $120^{\circ }120^\backslash circ$. Какой это угол?

Решение: $120^{\circ }>90^{\circ }120^\backslash circ\; >\; 90^\backslash circ$, но . Следовательно, угол $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ — тупой.

Ответ: Тупой угол.

Пример 2: Длина отрезка

Найдите длину отрезка $ABAB$, если координаты точек $A(2,3)A(2,\; 3)$ и $B(5,7)B(5,\; 7)$.

Решение: Используем формулу длины отрезка:

Подставим значения:

Ответ: Длина отрезка $AB=5AB\; =\; 5$.

Пример 3: Углы на прямой

Два угла $\alpha \backslash alpha$ и $\beta \backslash beta$ расположены на одной прямой, причём $\alpha =70^{\circ }\backslash alpha\; =\; 70^\backslash circ$. Найдите $\beta \backslash beta$.

Решение: Сумма углов на прямой равна $180^{\circ }180^\backslash circ$:

Ответ: $\beta =110^{\circ }\backslash beta\; =\; 110^\backslash circ$.

Задачи для закрепления

1. Через сколько точек можно провести одну прямую? А плоскость?
2. Какой это угол: $\alpha =85^{\circ }\backslash alpha\; =\; 85^\backslash circ$?
3. Найдите длину отрезка, если координаты его концов $A(1,2)A(1,\; 2)$ и $B(4,6)B(4,\; 6)$.
4. Два угла составляют развёрнутый угол. Один из них равен $45^{\circ }45^\backslash circ$. Найдите второй угол.

Заключение

Точки, прямые и углы являются основными элементами геометрии. Их свойства и взаимодействия служат фундаментом для изучения сложных геометрических фигур и их характеристик. Понимание этих базовых понятий помогает решать задачи и строить графические модели.