Аксиомы измерения

Аксиомы измерения — это аксиомы, которые описывают способы определения и вычисления числовых характеристик геометрических объектов, таких как длина отрезка, величина угла, площадь фигуры и т.д.

Основные аксиомы измерения

1. Аксиома измерения отрезков

Формулировка:
Каждому отрезку соответствует некоторое неотрицательное число, которое называется его длиной.

Свойства:

1. Длина отрезка всегда больше или равна нулю:

   $\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }\ge 0.|AB|\; \backslash geq\; 0.$

2. Длина отрезка равна нулю только в случае, если его концы совпадают:

   $\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=0\text{тогда и только тогда, когда}A=B\mathrm{.}|AB|\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash text\{тогда\; и\; только\; тогда,\; когда\}\; \backslash quad\; A\; =\; B.$

3. Если точка $CC$ лежит на отрезке $ABAB$, то:

   $\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }AC\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }CB\mathrm{\mid }\mathrm{.}|AB|\; =\; |AC|\; +\; |CB|.$

2. Аксиома измерения углов

Формулировка:
Каждому углу можно поставить в соответствие число, которое называется его величиной.

Свойства:

1. Величина угла выражается в градусах, радианах или градах.
2. Прямой угол равен $90^{\circ }90^\backslash circ$, развёрнутый угол — $180^{\circ }180^\backslash circ$, полный угол — $360^{\circ }360^\backslash circ$.
3. Если угол $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ разделён лучом на два угла $\mathrm{\angle }ABD\backslash angle\; ABD$ и $\mathrm{\angle }DBC\backslash angle\; DBC$, то:$\text{m}\mathrm{\angle }ABC=\text{m}\mathrm{\angle }ABD+\text{m}\mathrm{\angle }DBC\mathrm{.}\backslash text\{m\}\backslash angle\; ABC\; =\; \backslash text\{m\}\backslash angle\; ABD\; +\; \backslash text\{m\}\backslash angle\; DBC.$

3. Аксиома сложения длин

Формулировка:
Если отрезок состоит из нескольких частей, то его длина равна сумме длин этих частей.

Пример:
Если точка $CC$ делит отрезок $ABAB$ на два отрезка $ACAC$ и $CBCB$, то:

4. Аксиома сложения углов

Формулировка:
Величина сложного угла равна сумме величин составляющих его углов.

Пример:
Если угол $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ состоит из углов $\mathrm{\angle }ABD\backslash angle\; ABD$ и $\mathrm{\angle }DBC\backslash angle\; DBC$, то:

5. Аксиома сравнения

Формулировка:
Любые два отрезка или угла можно сравнить. Один из них либо меньше, либо равен, либо больше другого.

Пример:
Если $\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }CD\mathrm{\mid }|AB|\; >\; |CD|$, то отрезок $ABAB$ длиннее отрезка $CDCD$.

Примеры

Пример 1: Расчёт длины отрезка

На прямой $ABAB$ точка $CC$ делит отрезок на два. Если $\mathrm{\mid }AC\mathrm{\mid }=3|AC|\; =\; 3$ см и $\mathrm{\mid }CB\mathrm{\mid }=5|CB|\; =\; 5$ см, найдите длину $\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }|AB|$.

Решение:
Согласно аксиоме сложения длин:

Ответ: $\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=8|AB|\; =\; 8$ см.

Пример 2: Сложение углов

Угол $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ разделён на два угла: $\mathrm{\angle }ABD=40^{\circ }\backslash angle\; ABD\; =\; 40^\backslash circ$ и $\mathrm{\angle }DBC=50^{\circ }\backslash angle\; DBC\; =\; 50^\backslash circ$. Найдите величину угла $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$.

Решение:
Согласно аксиоме сложения углов:

Ответ: $\mathrm{\angle }ABC=90^{\circ }\backslash angle\; ABC\; =\; 90^\backslash circ$.

Задачи для закрепления

1. На прямой $ABAB$ точка $CC$ делит отрезок на два: $\mathrm{\mid }AC\mathrm{\mid }=7|AC|\; =\; 7$ см и $\mathrm{\mid }CB\mathrm{\mid }=9|CB|\; =\; 9$ см. Найдите длину $\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }|AB|$.
2. Разделите угол $90^{\circ }90^\backslash circ$ на два угла: один угол в два раза больше другого. Найдите величины этих углов.
3. Если длина отрезка $AB=12AB\; =\; 12$ см, а точка $CC$ делит его пополам, найдите $\mathrm{\mid }AC\mathrm{\mid }|AC|$ и $\mathrm{\mid }CB\mathrm{\mid }|CB|$.

Заключение

Аксиомы измерения позволяют количественно описывать геометрические объекты, такие как отрезки, углы и фигуры. Они служат основой для вычислений, сравнения и анализа геометрических свойств. Понимание этих аксиом необходимо для работы с длинами, углами и площадями.