Теорема косинусов

Формулировка теоремы

Теорема косинусов:
В любом треугольнике квадрат длины стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника $ABCABC$ со сторонами $aa$, $bb$, $cc$ и углом $\gamma \backslash gamma$ между сторонами $aa$ и $bb$:

Обобщённая формулировка

Для любой стороны треугольника:

Где: $aa$, $bb$, $cc$ — длины сторон, $\alpha \backslash alpha$, $\beta \backslash beta$, $\gamma \backslash gamma$ — углы, противолежащие этим сторонам.

Свойства теоремы косинусов

1. Обобщение теоремы Пифагора:
   Если угол $\gamma =90^{\circ }\backslash gamma\; =\; 90^\backslash circ$, то $\cos \gamma =0\backslash cos\; \backslash gamma\; =\; 0$, и теорема косинусов превращается в теорему Пифагора:

   $c^2=a^2+b^2\mathrm{.}c^2\; =\; a^2\; +\; b^2.$

2. Связь сторон и углов:
   Теорема позволяет выразить угол через стороны:

   $\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\mathrm{.}\backslash cos\; \backslash gamma\; =\; \backslash frac\{a^2\; +\; b^2\; -\; c^2\}\{2ab\}.$

3. Универсальность:
   Теорема применима к любому треугольнику (остроугольному, тупоугольному, прямоугольному).

Примеры

Пример 1: Найти длину стороны

В треугольнике $ABCABC$ даны:

• $a=5a\; =\; 5$, $b=7b\; =\; 7$, $\gamma =60^{\circ }\backslash gamma\; =\; 60^\backslash circ$.
  Найдите сторону $cc$.

Решение: Используем теорему косинусов:

Подставим значения:

Так как $\cos 60^{\circ }=0.5\backslash cos\; 60^\backslash circ\; =\; 0.5$:

Ответ: $c=\sqrt{39}c\; =\; \backslash sqrt\{39\}$.

Пример 2: Найти угол

В треугольнике $ABCABC$ даны:

• $a=8a\; =\; 8$, $b=10b\; =\; 10$, $c=12c\; =\; 12$.
  Найдите угол $\gamma \backslash gamma$.

Решение: Используем теорему косинусов для нахождения $\cos \gamma \backslash cos\; \backslash gamma$:

Подставим значения:

Вычислим:

Найдём угол $\gamma \backslash gamma$:

Ответ: $\gamma \approx 82.8^{\circ }\backslash gamma\; \backslash approx\; 82.8^\backslash circ$.

Пример 3: Проверка треугольника

Даны стороны треугольника $a=3a\; =\; 3$, $b=4b\; =\; 4$, $c=5c\; =\; 5$. Докажите, что это прямоугольный треугольник.

Решение: Используем теорему косинусов:

Подставим значения:

Вычислим:

Так как $\cos \gamma =0\backslash cos\; \backslash gamma\; =\; 0$, угол $\gamma =90^{\circ }\backslash gamma\; =\; 90^\backslash circ$.

Ответ: Треугольник прямоугольный.

Задачи для закрепления

1. В треугольнике $ABCABC$ даны: $a=6a\; =\; 6$, $b=8b\; =\; 8$, $\gamma =120^{\circ }\backslash gamma\; =\; 120^\backslash circ$. Найдите сторону $cc$.
2. В треугольнике $ABCABC$ стороны $a=7a\; =\; 7$, $b=9b\; =\; 9$, $c=10c\; =\; 10$. Найдите угол $\gamma \backslash gamma$.
3. Докажите, что треугольник со сторонами $88$, $1515$, $1717$ является прямоугольным.

Заключение

Теорема косинусов — универсальный инструмент для работы с треугольниками, позволяющий находить длины сторон и величины углов. Её применение особенно полезно для решения задач, где невозможно использовать теорему Пифагора или синусов.