Теорема о средней линии треугольника

Теорема:
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Определение средней линии

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Условия

1. Пусть в треугольнике $ABCABC$:
   • $DD$ — середина стороны $ABAB$,
   • $EE$ — середина стороны $ACAC$,
   • Отрезок $DEDE$ — средняя линия.
2. Тогда выполняются два свойства:
   • $DE\parallel BCDE\; \backslash parallel\; BC$,
   • $DE=\frac{1}{2}BCDE\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}BC$.

Доказательство теоремы

Шаг 1: Проведение вспомогательной линии

1. Построим через точку $EE$ прямую, параллельную $BCBC$, и продлим сторону $ABAB$, чтобы она пересекла эту прямую в точке $FF$.

Шаг 2: Подобие треугольников

2. Треугольники $ADEADE$ и $ABCABC$ подобны (по двум углам):

   • $\mathrm{\angle }ADE=\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ADE\; =\; \backslash angle\; ABC$ (накрест лежащие углы),
   • $\mathrm{\angle }AED=\mathrm{\angle }ACB\backslash angle\; AED\; =\; \backslash angle\; ACB$ (соответственные углы).

3. Из подобия треугольников:

   $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}\mathrm{.}\backslash frac\{DE\}\{BC\}\; =\; \backslash frac\{AD\}\{AB\}.$

4. Поскольку $DD$ — середина $ABAB$, то:

   $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}\mathrm{.}\backslash frac\{AD\}\{AB\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}.$

   Отсюда:

   $\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}\mathrm{.}\backslash frac\{DE\}\{BC\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}.$

5. Значит, $DE=\frac{1}{2}BCDE\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}BC$.

Шаг 3: Параллельность

6. Поскольку $DEDE$ и $BCBC$ образуют равные углы с $ABAB$, то $DE\parallel BCDE\; \backslash parallel\; BC$.

Вывод: Теорема доказана.

Следствия из теоремы

1. Средняя линия делит треугольник на два равных по площади треугольника:

   • Треугольники $ADEADE$ и $BCEBCE$ имеют равные площади.

2. Пропорциональность сторон:

   • Если отрезок делит стороны треугольника пропорционально, то он является средней линией.

Примеры

Пример 1: Нахождение средней линии

В треугольнике $ABCABC$ стороны $AB=10AB\; =\; 10$, $AC=14AC\; =\; 14$, $BC=16BC\; =\; 16$. Найдите длину средней линии, параллельной стороне $BCBC$.

Решение: По теореме о средней линии:

Ответ: Средняя линия $DE=8DE\; =\; 8$.

Пример 2: Проверка параллельности

В треугольнике $ABCABC$ точки $DD$ и $EE$ — середины сторон $ABAB$ и $ACAC$. Отрезок $DE=7DE\; =\; 7$ и $BC=14BC\; =\; 14$. Проверьте, параллельна ли $DEDE$ стороне $BCBC$.

Решение: По теореме о средней линии:

Проверим:

Отрезок $DEDE$ равен половине $BCBC$, значит, $DE\parallel BCDE\; \backslash parallel\; BC$.

Ответ: Отрезок $DEDE$ параллелен стороне $BCBC$.

Пример 3: Расчёт координат средней линии

В треугольнике $ABCABC$ координаты вершин: $A(0,0)A(0,\; 0)$, $B(6,0)B(6,\; 0)$, $C(4,8)C(4,\; 8)$. Найдите длину средней линии, соединяющей середины $ABAB$ и $ACAC$.

Решение:

1. Найдём координаты середины $DD$ стороны $ABAB$:

   $D(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})=(\frac{0+6}{2},\frac{0+0}{2})=(3,0)\mathrm{.}D\backslash left(\backslash frac\{x\_1\; +\; x\_2\}\{2\},\; \backslash frac\{y\_1\; +\; y\_2\}\{2\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{0\; +\; 6\}\{2\},\; \backslash frac\{0\; +\; 0\}\{2\}\backslash right)\; =\; (3,\; 0).$

2. Найдём координаты середины $EE$ стороны $ACAC$:

   $E(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})=(\frac{0+4}{2},\frac{0+8}{2})=(2,4)\mathrm{.}E\backslash left(\backslash frac\{x\_1\; +\; x\_2\}\{2\},\; \backslash frac\{y\_1\; +\; y\_2\}\{2\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{0\; +\; 4\}\{2\},\; \backslash frac\{0\; +\; 8\}\{2\}\backslash right)\; =\; (2,\; 4).$

3. Найдём длину $DEDE$:

   $DE=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}=\sqrt{(2-3{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}\mathrm{.}DE\; =\; \backslash sqrt\{(x\_2\; -\; x\_1)^2\; +\; (y\_2\; -\; y\_1)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{(2\; -\; 3)^2\; +\; (4\; -\; 0)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{1^2\; +\; 4^2\}\; =\; \backslash sqrt\{17\}.$

Ответ: Длина средней линии $DE=\sqrt{17}DE\; =\; \backslash sqrt\{17\}$.

Задачи для закрепления

1. В треугольнике $ABCABC$ сторона $BC=18BC\; =\; 18$. Найдите длину средней линии, параллельной стороне $BCBC$.
2. Докажите, что средняя линия делит треугольник на два равновеликих треугольника.
3. В треугольнике $ABCABC$ найдите координаты средней линии, если $A(1,1)A(1,\; 1)$, $B(5,3)B(5,\; 3)$, $C(7,9)C(7,\; 9)$.

Заключение

Теорема о средней линии треугольника — одно из фундаментальных утверждений в геометрии. Она описывает свойства средней линии и её связь с третьей стороной треугольника, что позволяет эффективно решать задачи, связанные с делением сторон и вычислением длин.