Теорема Пифагора

Формулировка теоремы

Теорема:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Если $aa$ и $bb$ — длины катетов, а $cc$ — длина гипотенузы, то:

Обозначения

• Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один из углов равен $90^{\circ }90^\backslash circ$.
• Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.
• Катеты — две стороны, образующие прямой угол.

Доказательство теоремы

Геометрическое доказательство (через площадь)

1. Построим квадрат со стороной $a+ba\; +\; b$, разделённый на четыре треугольника и центральный квадрат:
   • Площадь большого квадрата:

2. Площадь этого же квадрата можно выразить через площадь четырёх треугольников и центрального квадрата:
   • Площадь четырёх треугольников:

• Площадь центрального квадрата:

3. Сравним площади:

   $(a+b{)}^2=c^2+2ab\mathrm{.}(a\; +\; b)^2\; =\; c^2\; +\; 2ab.$

4. Раскроем скобки:

   $a^2+2ab+b^2=c^2+2ab\mathrm{.}a^2\; +\; 2ab\; +\; b^2\; =\; c^2\; +\; 2ab.$

5. Упростим:

   $c^2=a^2+b^2\mathrm{.}c^2\; =\; a^2\; +\; b^2.$

Вывод: Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора

Если в треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Примеры

Пример 1: Найти гипотенузу

В прямоугольном треугольнике катеты равны $33$ и $44$. Найдите гипотенузу.

Решение:

Ответ: Гипотенуза равна $55$.

Пример 2: Найти катет

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $1313$, один из катетов равен $55$. Найдите второй катет.

Решение:

Ответ: Второй катет равен $1212$.

Пример 3: Проверка прямоугольного треугольника

Проверить, является ли треугольник с длинами сторон $77$, $2424$, $2525$ прямоугольным.

Решение: Проверим теорему Пифагора:

Ответ: Треугольник является прямоугольным.

Задачи для закрепления

1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами $66$ и $88$.
2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $1010$, а один из катетов равен $66$. Найдите второй катет.
3. Проверьте, является ли треугольник с длинами сторон $99$, $1212$, $1515$ прямоугольным.

Применение теоремы Пифагора

1. Геометрия:

   • Нахождение длин сторон треугольника.
   • Проверка прямоугольности треугольника.

2. Физика:

   • Расчёт расстояний по диагонали (например, расстояние между точками в прямоугольной системе координат).

3. Инженерия:

   • Расчёт размеров конструкций, нахождение длины диагонали прямоугольных объектов.

Заключение

Теорема Пифагора — одна из ключевых теорем в геометрии. Она используется для нахождения длин сторон прямоугольного треугольника и решения множества прикладных задач. Понимание её доказательства и применение важно для успешного изучения математики.