Теорема о сумме углов треугольника

Формулировка теоремы

Теорема:
Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ }180^\backslash circ$.

Обозначения

• Пусть дан треугольник $ABCABC$ с углами $\alpha \backslash alpha$, $\beta \backslash beta$, $\gamma \backslash gamma$.
• Тогда:$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }\mathrm{.}\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; +\; \backslash gamma\; =\; 180^\backslash circ.$

Доказательство теоремы

Шаг 1: Проведение вспомогательной прямой

1. Через вершину $AA$ треугольника $ABCABC$ проведём прямую $DEDE$, параллельную стороне $BCBC$.

Шаг 2: Свойства параллельных прямых

2. Углы $\mathrm{\angle }CAB\backslash angle\; CAB$ и $\mathrm{\angle }ACD\backslash angle\; ACD$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $DEDE$ и $BCBC$. Следовательно:$\mathrm{\angle }CAB=\mathrm{\angle }ACD\mathrm{.}\backslash angle\; CAB\; =\; \backslash angle\; ACD.$
3. Углы $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ и $\mathrm{\angle }DBA\backslash angle\; DBA$ являются накрест лежащими углами при тех же прямых. Следовательно:$\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }DBA\mathrm{.}\backslash angle\; ABC\; =\; \backslash angle\; DBA.$

Шаг 3: Углы на прямой

4. Сумма углов, образованных на прямой $DEDE$, равна $180^{\circ }180^\backslash circ$:$\mathrm{\angle }DBA+\mathrm{\angle }BAC+\mathrm{\angle }ACD=180^{\circ }\mathrm{.}\backslash angle\; DBA\; +\; \backslash angle\; BAC\; +\; \backslash angle\; ACD\; =\; 180^\backslash circ.$

Шаг 4: Замена углов

5. Подставим равенства из шага 2 и 3:$\mathrm{\angle }ABC+\mathrm{\angle }CAB+\mathrm{\angle }BCA=180^{\circ }\mathrm{.}\backslash angle\; ABC\; +\; \backslash angle\; CAB\; +\; \backslash angle\; BCA\; =\; 180^\backslash circ.$

Вывод: Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }180^\backslash circ$.

Следствия из теоремы

1. Острые углы прямоугольного треугольника:

   • В прямоугольном треугольнике один из углов равен $90^{\circ }90^\backslash circ$. Следовательно, сумма двух оставшихся углов равна:$90^{\circ }\mathrm{.}90^\backslash circ.$

2. Сумма углов равнобедренного треугольника:

   • Если треугольник равнобедренный, то два угла при основании равны, а их сумма с третьим углом равна $180^{\circ }180^\backslash circ$.

3. Внешний угол треугольника:

   • Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:$\text{Внешний угол}=\alpha +\beta \mathrm{.}\backslash text\{Внешний\; угол\}\; =\; \backslash alpha\; +\; \backslash beta.$

Примеры

Пример 1: Нахождение угла треугольника

Даны углы треугольника $ABCABC$: $\alpha =40^{\circ }\backslash alpha\; =\; 40^\backslash circ$, $\beta =60^{\circ }\backslash beta\; =\; 60^\backslash circ$. Найдите угол $\gamma \backslash gamma$.

Решение: По теореме о сумме углов треугольника:

Подставим значения:

Ответ: $\gamma =80^{\circ }\backslash gamma\; =\; 80^\backslash circ$.

Пример 2: Внешний угол

Во внешнем угле треугольника $\mathrm{\angle }ACD\backslash angle\; ACD$ известно, что $\alpha =50^{\circ }\backslash alpha\; =\; 50^\backslash circ$, $\beta =60^{\circ }\backslash beta\; =\; 60^\backslash circ$. Найдите величину $\mathrm{\angle }ACD\backslash angle\; ACD$.

Решение: По следствию из теоремы о сумме углов треугольника:

Ответ: $\mathrm{\angle }ACD=110^{\circ }\backslash angle\; ACD\; =\; 110^\backslash circ$.

Пример 3: Равнобедренный треугольник

В равнобедренном треугольнике $ABCABC$ угол при вершине $AA$ равен $40^{\circ }40^\backslash circ$. Найдите углы при основании.

Решение: Сумма углов треугольника:

где $\alpha =40^{\circ }\backslash alpha\; =\; 40^\backslash circ$. Подставим:

Ответ: Углы при основании равны $70^{\circ }70^\backslash circ$.

Задачи для закрепления

1. Найдите углы треугольника, если два угла равны $50^{\circ }50^\backslash circ$ и $60^{\circ }60^\backslash circ$.
2. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $35^{\circ }35^\backslash circ$. Найдите второй острый угол.
3. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов.

Заключение

Теорема о сумме углов треугольника — одно из важнейших утверждений в геометрии. Она лежит в основе множества задач, связанных с углами и свойствами треугольников. Понимание этой теоремы помогает решать задачи и доказывать другие геометрические факты.