Классификация треугольников

1. По длине сторон:

1. Равносторонний треугольник:

   • Все стороны равны: $a=b=ca\; =\; b\; =\; c$.
   • Все углы равны $60^{\circ }60^\backslash circ$.
   • Высоты, медианы и биссектрисы совпадают.

2. Равнобедренный треугольник:

   • Две стороны равны: $a=ba\; =\; b$.
   • Углы при основании равны: $\alpha =\beta \backslash alpha\; =\; \backslash beta$.
   • Высота, проведённая к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой.

3. Разносторонний треугольник:

   • Все стороны имеют разную длину: $a\mathrm{\ne }b\mathrm{\ne }ca\; \backslash neq\; b\; \backslash neq\; c$.
   • Углы тоже разные.

2. По величине углов:

1. Остроугольный треугольник:

   • Все углы меньше $90^{\circ }90^\backslash circ$:

2. Прямоугольный треугольник:

   • Один угол равен $90^{\circ }90^\backslash circ$ (прямой угол).
   • Против прямого угла лежит гипотенуза (самая длинная сторона).
   • Остальные два угла острые:$\alpha +\beta =90^{\circ }\mathrm{.}\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; =\; 90^\backslash circ.$
   • Связь сторон: выполняется теорема Пифагора:$c^2=a^2+b^2\mathrm{.}c^2\; =\; a^2\; +\; b^2.$

3. Тупоугольный треугольник:

   • Один угол больше $90^{\circ }90^\backslash circ$:$\alpha >90^{\circ }\mathrm{.}\backslash alpha\; >\; 90^\backslash circ.$

Особенности и свойства

Равносторонний треугольник:

• Все стороны равны.
• Площадь можно найти по формуле:$S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2,S\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}a^2,$где $aa$ — длина стороны.

Равнобедренный треугольник:

• Высота, проведённая к основанию, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
• Площадь:$S=\frac{1}{2}\cdot \text{основание}\cdot \text{высоту}\mathrm{.}S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; основание\; \backslash cdot\; высоту.$

Прямоугольный треугольник:

• Свойство: $\sin \backslash sin$, $\cos \backslash cos$, $\tan \backslash tan$ выражаются через катеты и гипотенузу.
• Площадь:$S=\frac{1}{2}\cdot \text{кате}{\text{т}}_1\cdot \text{кате}{\text{т}}_2\mathrm{.}S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; катет\_1\; \backslash cdot\; катет\_2.$

Примеры

Пример 1: Определить тип треугольника

Даны стороны $a=5a\; =\; 5$, $b=5b\; =\; 5$, $c=6c\; =\; 6$. Определите тип треугольника.

Решение:

1. Две стороны равны: $a=ba\; =\; b$.
2. Углы при основании равны. Это равнобедренный треугольник.

Ответ: Равнобедренный треугольник.

Пример 2: Найти тип треугольника по углам

Углы треугольника равны $50^{\circ }50^\backslash circ$, $60^{\circ }60^\backslash circ$ и $70^{\circ }70^\backslash circ$.

Решение:

1. Все углы меньше $90^{\circ }90^\backslash circ$.
2. Следовательно, треугольник остроугольный.

Ответ: Остроугольный треугольник.

Задачи для закрепления

1. Определите тип треугольника, если его стороны равны $a=6a\; =\; 6$, $b=6b\; =\; 6$, $c=10c\; =\; 10$.
2. Углы треугольника равны $90^{\circ }90^\backslash circ$, $45^{\circ }45^\backslash circ$ и $45^{\circ }45^\backslash circ$. Каков тип треугольника?
3. В равностороннем треугольнике сторона равна $88$ см. Найдите площадь.
4. Определите, какой треугольник образуют стороны $a=3a\; =\; 3$, $b=4b\; =\; 4$, $c=5c\; =\; 5$.

Заключение

Классификация треугольников по сторонам и углам позволяет определить их свойства, а также применять соответствующие формулы для вычисления их площади, периметра и других характеристик.