Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов равен $90^{\circ }90^\backslash circ$ (прямой угол).

Элементы прямоугольного треугольника:

1. Катеты — две стороны, прилежащие к прямому углу.
2. Гипотенуза — сторона, противоположная прямому углу (самая длинная сторона).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Теорема Пифагора:
   Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

   $c^2=a^2+b^2,c^2\; =\; a^2\; +\; b^2,$

   где $aa$ и $bb$ — катеты, $cc$ — гипотенуза.

2. Сумма острых углов:
   Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают $90^{\circ }90^\backslash circ$:

   $\alpha +\beta =90^{\circ }\mathrm{.}\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; =\; 90^\backslash circ.$

3. Тригонометрические отношения:
   В прямоугольном треугольнике применяются синус, косинус и тангенс:

   • $\sin \alpha =\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{\backslash text\{противолежащий\; катет\}\}\{\backslash text\{гипотенуза\}\}$,
   • $\cos \alpha =\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{\backslash text\{прилежащий\; катет\}\}\{\backslash text\{гипотенуза\}\}$,
   • $\tan \alpha =\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\backslash tan\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{\backslash text\{противолежащий\; катет\}\}\{\backslash text\{прилежащий\; катет\}\}$.

4. Высота к гипотенузе:
   Высота $hh$, опущенная на гипотенузу, делит её на два отрезка, пропорциональных квадратам катетов:

   $h=\frac{a\cdot b}{c}\mathrm{.}h\; =\; \backslash frac\{a\; \backslash cdot\; b\}\{c\}.$

5. Медиана к гипотенузе:
   Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

   $m=\frac{c}{2}\mathrm{.}m\; =\; \backslash frac\{c\}\{2\}.$

Применение прямоугольного треугольника

1. В геометрии:
   Используется для построения прямых углов, нахождения расстояний, решения задач на площади и периметр.

2. В физике и инженерии:
   Прямоугольные треугольники применяются для расчёта сил, траекторий и углов наклона.

Примеры

Пример 1: Нахождение гипотенузы

Даны катеты $a=6a\; =\; 6$, $b=8b\; =\; 8$. Найдите гипотенузу.

Решение: По теореме Пифагора:

Ответ: Гипотенуза $c=10c\; =\; 10$.

Пример 2: Проверка прямого угла

Даны стороны треугольника $a=5a\; =\; 5$, $b=12b\; =\; 12$, $c=13c\; =\; 13$. Является ли треугольник прямоугольным?

Решение: Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

Ответ: Треугольник прямоугольный.

Пример 3: Площадь треугольника

В прямоугольном треугольнике катеты $a=9a\; =\; 9$, $b=12b\; =\; 12$. Найдите площадь.

Решение: Площадь прямоугольного треугольника находится по формуле:

Подставим значения:

Ответ: $S=54S\; =\; 54$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите длину гипотенузы, если катеты равны $77$ и $2424$.
2. Проверьте, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны равны $99$, $1212$, $1515$.
3. Вычислите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны $88$ и $1515$.
4. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу, если катеты равны $55$ и $1212$, а гипотенуза — $1313$.

Заключение

Прямоугольный треугольник — это важный объект в геометрии, широко применяемый в науке и повседневной жизни. Его свойства, такие как теорема Пифагора и тригонометрические отношения, позволяют решать множество практических задач.