Катеты

Катеты — это две стороны прямоугольного треугольника, которые прилегают к прямому углу. Катеты короче гипотенузы (самой длинной стороны треугольника).

Обозначения:

• $aa$ и $bb$ — катеты,
• $cc$ — гипотенуза.

Свойства катетов

1. Теорема Пифагора:
   Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

   $c^2=a^2+b^2\mathrm{.}c^2\; =\; a^2\; +\; b^2.$

2. Отношение катетов к углам:
   В прямоугольном треугольнике катеты соотносятся с углами при основании через тригонометрические функции:

   • Противолежащий катет: катет, который лежит напротив угла.
   • Прилежащий катет: катет, который лежит рядом с углом.

3. Высота к гипотенузе:
   Длина высоты $hh$, проведённой к гипотенузе, связана с катетами:

   $h=\frac{a\cdot b}{c}\mathrm{.}h\; =\; \backslash frac\{a\; \backslash cdot\; b\}\{c\}.$

4. Катеты в равнобедренном прямоугольном треугольнике:
   Если треугольник равнобедренный, то катеты равны:

   $a=b\mathrm{.}a\; =\; b.$

Формулы для нахождения катетов

1. Через гипотенузу и другой катет (теорема Пифагора):

   $a=\sqrt{c^2-b^2},b=\sqrt{c^2-a^2}\mathrm{.}a\; =\; \backslash sqrt\{c^2\; -\; b^2\},\; \backslash quad\; b\; =\; \backslash sqrt\{c^2\; -\; a^2\}.$

2. Через гипотенузу и угол ($\alpha \backslash alpha$):

   • Противолежащий катет:

• Прилежащий катет:

3. Через тангенс угла: Если известен угол $\alpha \backslash alpha$ и один из катетов:$\tan \alpha =\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}⟹a=b\cdot \tan \alpha \mathrm{.}\backslash tan\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{\backslash text\{противолежащий\; катет\}\}\{\backslash text\{прилежащий\; катет\}\}\; \backslash implies\; a\; =\; b\; \backslash cdot\; \backslash tan\; \backslash alpha.$

Примеры

Пример 1: Нахождение катета через гипотенузу

В прямоугольном треугольнике гипотенуза $c=10c\; =\; 10$, один из катетов $a=6a\; =\; 6$. Найдите второй катет $bb$.

Решение: Используем теорему Пифагора:

Подставляем значения:

Ответ: Катет $b=8b\; =\; 8$.

Пример 2: Нахождение катета через угол

В прямоугольном треугольнике гипотенуза $c=13c\; =\; 13$, угол $\alpha =30^{\circ }\backslash alpha\; =\; 30^\backslash circ$. Найдите противолежащий катет.

Решение: Используем формулу:

Подставляем значения:

Ответ: Противолежащий катет $a=6.5a\; =\; 6.5$.

Пример 3: Нахождение катета через тангенс

В прямоугольном треугольнике прилежащий катет $b=5b\; =\; 5$, угол $\alpha =45^{\circ }\backslash alpha\; =\; 45^\backslash circ$. Найдите противолежащий катет $aa$.

Решение: Используем формулу:

Подставляем значения:

Ответ: Противолежащий катет $a=5a\; =\; 5$.

Задачи для закрепления

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза $c=13c\; =\; 13$, катет $b=12b\; =\; 12$. Найдите второй катет $aa$.
2. Найдите катет $bb$, если гипотенуза $c=15c\; =\; 15$, угол $\alpha =60^{\circ }\backslash alpha\; =\; 60^\backslash circ$.
3. В прямоугольном треугольнике катеты равны $77$ и $2424$. Найдите гипотенузу.
4. Докажите, что катеты равны в равнобедренном прямоугольном треугольнике, если гипотенуза выражена как $c=a\sqrt{2}c\; =\; a\backslash sqrt\{2\}$.

Заключение

Катеты — это ключевые элементы прямоугольного треугольника, которые связывают стороны и углы через теорему Пифагора и тригонометрические функции. Их вычисление позволяет решать множество практических задач, связанных с геометрией, физикой и инженерией.