Гипотенуза

Гипотенуза — это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла.

Свойства гипотенузы

1. Длина гипотенузы: Длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов:

   $c>a\text{и}c>b,c\; >\; a\; \backslash quad\; \backslash text\{и\}\; \backslash quad\; c\; >\; b,$

   где $cc$ — гипотенуза, $aa$ и $bb$ — катеты.

2. Связь с катетами (теорема Пифагора): Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

   $c^2=a^2+b^2\mathrm{.}c^2\; =\; a^2\; +\; b^2.$

3. Медиана к гипотенузе: Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине её длины:

   $m=\frac{c}{2}\mathrm{.}m\; =\; \backslash frac\{c\}\{2\}.$

4. Высота к гипотенузе: Высота, опущенная на гипотенузу, делит её на два отрезка. Длина высоты рассчитывается как:

   $h=\frac{a\cdot b}{c},h\; =\; \backslash frac\{a\; \backslash cdot\; b\}\{c\},$

   где $aa$ и $bb$ — катеты.

Формулы для расчёта гипотенузы

1. Теорема Пифагора: Для нахождения гипотенузы, если известны катеты:

   $c=\sqrt{a^2+b^2}\mathrm{.}c\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}.$

2. Через тригонометрические функции: Если известен угол $\alpha \backslash alpha$ и прилежащий катет:

   $c=\frac{a}{\cos \alpha }\mathrm{.}c\; =\; \backslash frac\{a\}\{\backslash cos\; \backslash alpha\}.$

   Если известен угол $\alpha \backslash alpha$ и противоположный катет:

   $c=\frac{b}{\sin \alpha }\mathrm{.}c\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\}.$

Примеры

Пример 1: Нахождение гипотенузы

В прямоугольном треугольнике катеты $a=6a\; =\; 6$ и $b=8b\; =\; 8$. Найдите гипотенузу.

Решение: Используем теорему Пифагора:

Ответ: Гипотенуза $c=10c\; =\; 10$.

Пример 2: Гипотенуза через тригонометрические функции

В прямоугольном треугольнике угол $\alpha =30^{\circ }\backslash alpha\; =\; 30^\backslash circ$, катет $a=5a\; =\; 5$ (прилежащий). Найдите гипотенузу.

Решение: Используем формулу:

Подставляем значения:

Ответ: Гипотенуза $c\approx 5.77c\; \backslash approx\; 5.77$.

Пример 3: Нахождение высоты к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике катеты $a=3a\; =\; 3$, $b=4b\; =\; 4$. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.

Решение: Сначала находим гипотенузу:

Теперь используем формулу для высоты:

Ответ: Высота $h=2.4h\; =\; 2.4$.

Задачи для закрепления

1. Найдите длину гипотенузы, если катеты равны $77$ и $2424$.
2. В прямоугольном треугольнике угол $\alpha =45^{\circ }\backslash alpha\; =\; 45^\backslash circ$, а прилежащий катет равен $1010$. Найдите гипотенузу.
3. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу, если катеты равны $55$ и $1212$, а гипотенуза — $1313$.
4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $1515$, а один из катетов равен $99$. Найдите второй катет.

Заключение

Гипотенуза — это ключевой элемент прямоугольного треугольника. Она связана с катетами через теорему Пифагора и тригонометрические функции. Её знание помогает решать множество задач в геометрии, физике и инженерии.