Математика Неравенства

Конспект по теме: Системы неравенств

Введение

Система неравенств — это совокупность двух или более неравенств, которые необходимо решить одновременно. Решение системы заключается в нахождении пересечения решений каждого неравенства.

Определение

Система неравенств имеет вид: {f1(x) □1 0,f2(x) □2 0,⋯\begin{cases} f_1(x) \, \square_1 \, 0, \\ f_2(x) \, \square_2 \, 0, \\ \cdots \end{cases} где: f1(x),f2(x),…f_1(x), f_2(x), \dots — выражения, содержащие переменные, □1,□2,…\square_1, \square_2, \dots — знаки (>>, <<, ≥\geq, ≤\leq).

Пример:

{x+2>0,x−3≤0.\begin{cases} x + 2 > 0, \\ x - 3 \leq 0. \end{cases}

Общий алгоритм решения

  1. Решите каждое неравенство отдельно: Найдите решение для каждого неравенства в системе.

  2. Найдите пересечение решений: Пересечение решений всех неравенств будет решением системы.

  3. Запишите итоговый ответ: Укажите объединённое решение в виде интервала или совокупности интервалов.

Примеры

Пример 1: Линейные неравенства

Решите систему:

{x+2>0,x−3≤0.\begin{cases} x + 2 > 0, \\ x - 3 \leq 0. \end{cases}

Решение:

  1. Решаем каждое неравенство:

    • x+2>0⇒x>−2x + 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -2,
    • x−3≤0⇒x≤3x - 3 \leq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 3.

  2. Пересечение:

    x∈(−2,3].x \in (-2, 3].

Ответ:

x∈(−2,3].x \in (-2, 3].

Пример 2: Квадратные неравенства

Решите систему:

{x2−4≥0,x+2>0.\begin{cases} x^2 - 4 \geq 0, \\ x + 2 > 0. \end{cases}

Решение:

  1. Решаем каждое неравенство:

    • x2−4≥0⇒x∈(−∞,−2]∪[2,∞)x^2 - 4 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty),
    • x+2>0⇒x∈(−2,∞)x + 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-2, \infty).

  2. Пересечение:

    x∈[2,∞).x \in [2, \infty).

Ответ:

x∈[2,∞).x \in [2, \infty).

Пример 3: Рациональные неравенства

Решите систему:

{xx−1>0,x−2≤0.\begin{cases} \frac{x}{x - 1} > 0, \\ x - 2 \leq 0. \end{cases}

Решение:

  1. Решаем каждое неравенство:
    • xx−1>0\frac{x}{x - 1} > 0: нули числителя и знаменателя x=0x = 0, x=1x = 1. Знаки:
x∈(−∞,0)∪(1,∞).x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty).
  • x−2≤0⇒x≤2x - 2 \leq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 2.
  1. Пересечение:x∈(−∞,0)∪(1,2].x \in (-\infty, 0) \cup (1, 2].

Ответ:

x∈(−∞,0)∪(1,2].x \in (-\infty, 0) \cup (1, 2].

Системы с несколькими переменными

Для систем с несколькими переменными решение представляется в виде областей на плоскости.

Пример:

{x+y≥2,x−y≤1.\begin{cases} x + y \geq 2, \\ x - y \leq 1. \end{cases}

Решение:

  1. Построим линии x+y=2x + y = 2 и x−y=1x - y = 1.
  2. Определим области, удовлетворяющие неравенствам.
  3. Найдём пересечение этих областей.

Примеры из жизни

  1. Физика:
    • Условия для движения:
v>0,a≤g.v > 0, \quad a \leq g.
  1. Экономика:
    • Условие баланса прибыли и затрат:
R>C,P≤100.R > C, \quad P \leq 100.
  1. Геометрия:
    • Задачи на нахождение областей внутри фигур.

Задачи для закрепления

  1. Решите систему:

    {x−3>0,x+2≤5.\begin{cases} x - 3 > 0, \\ x + 2 \leq 5. \end{cases}

  2. Найдите пересечение решений:

    {x2−4x+3≤0,x−1≥0.\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \leq 0, \\ x - 1 \geq 0. \end{cases}

  3. Решите рациональную систему:

    {xx−2≥1,x2−4>0.\begin{cases} \frac{x}{x - 2} \geq 1, \\ x^2 - 4 > 0. \end{cases}

  4. Постройте область решений:

    {x+y≤5,x−y>1.\begin{cases} x + y \leq 5, \\ x - y > 1. \end{cases}

Задачи по теме

Задача №1KFKA0N3JW

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

x+a>=22 20⋅x<x2+a2 7⋅a<=x

имеет хотя бы одно решение на отрезке [9;18].

Задача №WKJ2IWX0Q0

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

x+a<=16 13⋅x>x2+a2 2⋅a>=x

имеет хотя бы одно решение на отрезке [8;11].

Задача №9TDE619K8C

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

x+a>=10 6⋅x<x2+a2 6⋅a>=x

имеет хотя бы одно решение на отрезке [1;4].

Задача №JNSCJZIC5B

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

15⋅x<x2+a2 x+a>=13 10⋅a>=x

имеет хотя бы одно решение на отрезке [1;2].

Задача №B9XKJBHWG7

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

x+a<=27 11⋅x>x2+a2 6⋅a>=x

имеет хотя бы одно решение на отрезке [3;16].

Задача №QBZ8JEO17S

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

x+a<=21 11⋅x>x2+a2 10⋅a<=x

имеет хотя бы одно решение на отрезке [10;13].

Задача №HJTXRLX4YZ

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

19⋅x>x2+a2 x+a<=29 1⋅a<=x

имеет хотя бы одно решение на отрезке [8;18].

Задача №Q7QASITL42

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

14⋅x<x2+a2 x+a>=29 8⋅a<=x

имеет хотя бы одно решение на отрезке [3;18].

Задача №CPOOZDXB7Y

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

3⋅a>=x x+a<=29 16⋅x<x2+a2

имеет хотя бы одно решение на отрезке [7;18].

Задача №3UOJ4G1RUC

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

x+a<=25 3⋅a>=x 17⋅x>x2+a2

имеет хотя бы одно решение на отрезке [5;6].

Квадратные неравенстваФункции