Конспект по теме: Системы неравенств

Введение

Система неравенств — это совокупность двух или более неравенств, которые необходимо решить одновременно. Решение системы заключается в нахождении пересечения решений каждого неравенства.

Определение

Система неравенств имеет вид: $\{\begin{array}{c}{f}_1(x){\mathrm{\square }}_{1}0,\\ f_2(x){\mathrm{\square }}_{2}0,\\ \cdots \end{array}\backslash begin\{cases\}\; f\_1(x)\; \backslash ,\; \backslash square\_1\; \backslash ,\; 0,\; \backslash \backslash \; f\_2(x)\; \backslash ,\; \backslash square\_2\; \backslash ,\; 0,\; \backslash \backslash \; \backslash cdots\; \backslash end\{cases\}$ где: $f_1(x),f_2(x),\dots f\_1(x),\; f\_2(x),\; \backslash dots$ — выражения, содержащие переменные, ${\mathrm{\square }}_1,{\mathrm{\square }}_2,\dots \backslash square\_1,\; \backslash square\_2,\; \backslash dots$ — знаки ($>>$, , $\ge \backslash geq$, $\le \backslash leq$).

Пример:

Общий алгоритм решения

1. Решите каждое неравенство отдельно: Найдите решение для каждого неравенства в системе.

2. Найдите пересечение решений: Пересечение решений всех неравенств будет решением системы.

3. Запишите итоговый ответ: Укажите объединённое решение в виде интервала или совокупности интервалов.

Примеры

Пример 1: Линейные неравенства

Решите систему:

Решение:

1. Решаем каждое неравенство:

   • $x+2>0\Rightarrow x>-2x\; +\; 2\; >\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; >\; -2$,
   • $x-3\le 0\Rightarrow x\le 3x\; -\; 3\; \backslash leq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash leq\; 3$.

2. Пересечение:

   $x\in (-2,3]\mathrm{.}x\; \backslash in\; (-2,\; 3].$

Ответ:

Пример 2: Квадратные неравенства

Решите систему:

Решение:

1. Решаем каждое неравенство:

   • $x^2-4\ge 0\Rightarrow x\in (-\mathrm{\infty },-2]\cup [2,\mathrm{\infty })x^2\; -\; 4\; \backslash geq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash in\; (-\backslash infty,\; -2]\; \backslash cup\; [2,\; \backslash infty)$,
   • $x+2>0\Rightarrow x\in (-2,\mathrm{\infty })x\; +\; 2\; >\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash in\; (-2,\; \backslash infty)$.

2. Пересечение:

   $x\in [2,\mathrm{\infty })\mathrm{.}x\; \backslash in\; [2,\; \backslash infty).$

Ответ:

Пример 3: Рациональные неравенства

Решите систему:

Решение:

1. Решаем каждое неравенство:
   • $\frac{x}{x-1}>0\backslash frac\{x\}\{x\; -\; 1\}\; >\; 0$: нули числителя и знаменателя $x=0x\; =\; 0$, $x=1x\; =\; 1$. Знаки:

• $x-2\le 0\Rightarrow x\le 2x\; -\; 2\; \backslash leq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash leq\; 2$.

2. Пересечение:$x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (1,2]\mathrm{.}x\; \backslash in\; (-\backslash infty,\; 0)\; \backslash cup\; (1,\; 2].$

Ответ:

Системы с несколькими переменными

Для систем с несколькими переменными решение представляется в виде областей на плоскости.

Пример:

Решение:

1. Построим линии $x+y=2x\; +\; y\; =\; 2$ и $x-y=1x\; -\; y\; =\; 1$.
2. Определим области, удовлетворяющие неравенствам.
3. Найдём пересечение этих областей.

Примеры из жизни

1. Физика:
   • Условия для движения:

2. Экономика:
   • Условие баланса прибыли и затрат:

3. Геометрия:
   • Задачи на нахождение областей внутри фигур.

Задачи для закрепления

1. Решите систему:

   $\{\begin{array}{c}x-3>0,\\ x+2\le 5.\end{array}\backslash begin\{cases\}\; x\; -\; 3\; >\; 0,\; \backslash \backslash \; x\; +\; 2\; \backslash leq\; 5.\; \backslash end\{cases\}$

2. Найдите пересечение решений:

   $\{\begin{array}{c}{x}^2-4x+3\le 0,\\ x-1\ge 0.\end{array}\backslash begin\{cases\}\; x^2\; -\; 4x\; +\; 3\; \backslash leq\; 0,\; \backslash \backslash \; x\; -\; 1\; \backslash geq\; 0.\; \backslash end\{cases\}$

3. Решите рациональную систему:

   $\{\begin{array}{c}\frac{x}{x-2}\ge 1,\\ x^2-4>0.\end{array}\backslash begin\{cases\}\; \backslash frac\{x\}\{x\; -\; 2\}\; \backslash geq\; 1,\; \backslash \backslash \; x^2\; -\; 4\; >\; 0.\; \backslash end\{cases\}$

4. Постройте область решений:

   $\{\begin{array}{c}x+y\le 5,\\ x-y>1.\end{array}\backslash begin\{cases\}\; x\; +\; y\; \backslash leq\; 5,\; \backslash \backslash \; x\; -\; y\; >\; 1.\; \backslash end\{cases\}$