Конспект по теме: Квадратные неравенства

Введение

Квадратные неравенства — это неравенства, в которых переменная находится в квадрате. Такие неравенства имеют вид: $a{x}^2+bx+c\mathrm{\square }0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; \backslash ,\; \backslash square\; \backslash ,\; 0$, где $\mathrm{\square }\backslash square$ — один из знаков ($>>$, , $\ge \backslash geq$, $\le \backslash leq$).

Решение квадратных неравенств связано с анализом графика квадратичной функции и нахождением её интервалов знакоположительности или знакоотрицательности.

Определение

Квадратное неравенство записывается в виде:$a{x}^2+bx+c\mathrm{\square }0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; \backslash ,\; \backslash square\; \backslash ,\; 0$, где: $a,b,ca,\; b,\; c$ — коэффициенты, $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$.

Пример:

Общий алгоритм решения

Шаг 1: Найти корни квадратного уравнения

Решите уравнение:

Используйте формулу дискриминанта:

Пример:

Шаг 2: Разделить числовую ось на интервалы

Разделите числовую ось на интервалы с учётом найденных корней. Эти интервалы соответствуют областям, где знак выражения может меняться.

Пример:

Шаг 3: Определить знак на каждом интервале

Подставьте любое значение из каждого интервала в выражение, чтобы определить его знак на данном интервале.

Пример: Для $x^2-5x+6x^2\; -\; 5x\; +\; 6$:

• При $x=1x\; =\; 1$ (из $(-\mathrm{\infty },2)(-\backslash infty,\; 2)$): $1^2-5\cdot 1+6=2>01^2\; -\; 5\; \backslash cdot\; 1\; +\; 6\; =\; 2\; >\; 0$.

• При $x=2.5x\; =\; 2.5$ (из $(2,3)(2,\; 3)$): .

• При $x=4x\; =\; 4$ (из $(3,\mathrm{\infty })(3,\; \backslash infty)$): $4^2-5\cdot 4+6=2>04^2\; -\; 5\; \backslash cdot\; 4\; +\; 6\; =\; 2\; >\; 0$.

Шаг 4: Записать решение

В зависимости от знака неравенства и его включения ($\ge \backslash geq$ или $\le \backslash leq$), выберите соответствующие интервалы.

Пример:

Типы квадратных неравенств

1. $a{x}^2+bx+c>0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; >\; 0$

Решение:

• Определите, где функция положительна:
  • При $a>0a\; >\; 0$: $x\in (-\mathrm{\infty },x_1)\cup (x_2,\mathrm{\infty })x\; \backslash in\; (-\backslash infty,\; x\_1)\; \backslash cup\; (x\_2,\; \backslash infty)$.
  • При : $x\in (x_1,x_2)x\; \backslash in\; (x\_1,\; x\_2)$.

Пример:

2.

Решение:

• Определите, где функция отрицательна:
  • При $a>0a\; >\; 0$: $x\in (x_1,x_2)x\; \backslash in\; (x\_1,\; x\_2)$.
  • При : $x\in (-\mathrm{\infty },x_1)\cup (x_2,\mathrm{\infty })x\; \backslash in\; (-\backslash infty,\; x\_1)\; \backslash cup\; (x\_2,\; \backslash infty)$.

Пример:

3. $a{x}^2+bx+c\ge 0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; \backslash geq\; 0$ или $a{x}^2+bx+c\le 0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; \backslash leq\; 0$

Решение:

• Включите границы интервалов (корни), где функция равна $00$.

Пример:

Особые случаи

1. Дискриминант :
   • Квадратное уравнение не имеет корней.
   • Знак выражения определяется знаком $aa$:

• При $a>0a\; >\; 0$: $a{x}^2+bx+c>0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; >\; 0$ для всех $xx$.
• При : для всех $xx$.

Пример:

2. ОДЗ: Если квадратное выражение находится в знаменателе, необходимо учитывать области, где знаменатель не равен нулю.

Графическое решение

График квадратичной функции — парабола:

• Ветви вверх, если $a>0a\; >\; 0$.
• Ветви вниз, если .

Для неравенств используйте интервалы, где парабола лежит выше или ниже оси $xx$.

Примеры из жизни

1. Физика:
   • Расчёт траектории движения тела:

2. Экономика:

   • Анализ прибыли: $P(x)=a{x}^2+bx+cP(x)\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c$.

3. Геометрия:

   • Задачи на площади и объём.

Задачи для закрепления

1. Решите неравенство:

   $x^2-4x+3>0.x^2\; -\; 4x\; +\; 3\; >\; 0.$

2. Найдите $xx$:

   $2x^2-3x-2\le 0.2x^2\; -\; 3x\; -\; 2\; \backslash leq\; 0.$

3. Укажите область решений:

   $x^2+x+1>0.x^2\; +\; x\; +\; 1\; >\; 0.$

4. Постройте график для: $$ x^2