Линейные неравенства

Линейные неравенства — это неравенства, в которых переменная находится в первой степени. Они являются базовым инструментом алгебры и используются для определения диапазонов значений переменных.

Определение

Линейное неравенство записывается в общем виде: $ax+b\mathrm{\square }cax\; +\; b\; \backslash ,\; \backslash square\; \backslash ,\; c$, где: $aa$, $bb$, $cc$ — числа (коэффициенты), $xx$ — переменная, $\mathrm{\square }\backslash square$ — знак неравенства ($>>$, , $\ge \backslash geq$, $\le \backslash leq$), $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$.

Пример:

Основные свойства неравенств

1. Если к обеим частям неравенства прибавить (или вычесть) одно и то же число, знак неравенства не изменится: $x+3>7\Rightarrow x>4.x\; +\; 3\; >\; 7\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; >\; 4.$

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на положительное число, знак неравенства не изменится: $2x>6\Rightarrow x>3.2x\; >\; 6\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; >\; 3.$

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный:

4. Неравенство сохраняет порядок, если обе его стороны возвести в нечетную степень или извлечь корень нечетной степени.

Решение линейных неравенств

Алгоритм решения

1. Перенесите все члены с переменной в одну часть неравенства, а константы — в другую.
2. Упростите выражение, объединив подобные члены.
3. Разделите обе части на коэффициент перед переменной, помня о смене знака при делении на отрицательное число.
4. Запишите ответ в виде интервала.

Примеры

Пример 1: Простое линейное неравенство

Решите:

Решение:

1. Переносим $33$ в правую часть:$2x>4.2x\; >\; 4.$
2. Делим на $22$:$x>2.x\; >\; 2.$

Ответ:

Пример 2: Линейное неравенство с отрицательным коэффициентом

Решите:

Решение:

1. Переносим $55$ в правую часть:$-3x\le -3.-3x\; \backslash leq\; -3.$
2. Делим на $-3-3$, меняя знак:$x\ge 1.x\; \backslash geq\; 1.$

Ответ:

Пример 3: Система линейных неравенств

Решите систему:

Решение:

1. Решаем первое неравенство:$2x>4\Rightarrow x>2.2x\; >\; 4\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; >\; 2.$
2. Решаем второе неравенство:$x\le 2.x\; \backslash leq\; 2.$
3. Совмещаем результаты:$\text{Решений нет, так как }x>2\text{ и }x\le 2\text{ несовместимы.}\backslash text\{Решений\; нет,\; так\; как\; \$x\; >\; 2\$\; и\; \$x\; \backslash leq\; 2\$\; несовместимы.\}$

Графическое решение

На числовой прямой отмечают интервал, соответствующий решению неравенства. Например, для $x>2x\; >\; 2$:

• Открытая точка в $22$ (точка не включается),
• Интервал $(2,\mathrm{\infty })(2,\; \backslash infty)$.

Примеры из жизни

1. Финансы:

   • Условие прибыли: $R>CR\; >\; C$, где $RR$ — доход, $CC$ — затраты.

2. Физика:

   • Условие движения: $v>0v\; >\; 0$.

3. Экономика:

   • Условие превышения спроса над предложением: $D>SD\; >\; S$.

Задачи для закрепления

1. Решите неравенство:

2. Найдите решение:

   $-4x+6\ge 2.-4x\; +\; 6\; \backslash geq\; 2.$

3. Решите систему:

4. Постройте график решения:

   $x-2>0.x\; -\; 2\; >\; 0.$