Неравенства

Неравенство — это математическое выражение, в котором одна часть выражения больше, меньше или не равна другой. Решение неравенства позволяет определить диапазон значений переменных, при которых данное условие выполняется.

Определение

Неравенства записываются с использованием следующих знаков:

• $>>$ — больше,

• — меньше,

• $\ge \backslash geq$ — больше или равно,

• $\le \backslash leq$ — меньше или равно.

Пример:

Типы неравенств

Линейные неравенства

Неравенства вида $ax+b>0ax\; +\; b\; >\; 0$, где $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$.

Пример:

Квадратные неравенства

Неравенства вида $a{x}^2+bx+c>0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; >\; 0$.

Пример:

Рациональные неравенства

Неравенства с дробями.

Пример:

Системы неравенств

Решение нескольких неравенств одновременно.

Пример:

Методы решения неравенств

Аналитический метод

Пример:

Метод интервалов

Используется для квадратных и рациональных неравенств:

1. Найти точки, где выражение обращается в ноль.
2. Разделить числовую ось на интервалы.
3. Определить знак выражения на каждом интервале.

Пример:

• Корни: $x=-2x\; =\; -2$, $x=2x\; =\; 2$.
• Интервалы: $(-\mathrm{\infty },-2)(-\backslash infty,\; -2)$, $(-2,2)(-2,\; 2)$, $(2,\mathrm{\infty })(2,\; \backslash infty)$.
• Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty },-2)\cup (2,\mathrm{\infty })x\; \backslash in\; (-\backslash infty,\; -2)\; \backslash cup\; (2,\; \backslash infty)$.

Графический метод

Построение графика функции и определение областей, где она выше, ниже или равна заданному значению.

Пример:

Построим график параболы и найдём области, где она выше оси $xx$.

Основные свойства неравенств

1. Если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число, знак неравенства меняется:

2. Неравенство сохраняет знак при сложении или вычитании одного и того же числа: $x+3>5\Rightarrow x>2.x\; +\; 3\; >\; 5\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; >\; 2.$

3. Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю: $x^2\ge 0.x^2\; \backslash geq\; 0.$

Примеры из жизни

1. Финансы:

   • Определение диапазона доходов: $x>yx\; >\; y$.

2. Физика:

   • Условия движения: $v>0v\; >\; 0$.

3. Геометрия:

   • Неравенство треугольника: $a+b>ca\; +\; b\; >\; c$.

Задачи для закрепления

1. Решите неравенство:

2. Решите квадратное неравенство:

   $x^2-9\le 0.x^2\; -\; 9\; \backslash leq\; 0.$

3. Решите систему неравенств:

4. Упростите и решите:

   $\frac{x}{x-2}\ge 0.\backslash frac\{x\}\{x\; -\; 2\}\; \backslash geq\; 0.$