Конспект по теме: Рациональные неравенства

Введение

Рациональные неравенства — это неравенства, в которых переменная содержится в числителе или знаменателе дроби. Их решение связано с нахождением области допустимых значений (ОДЗ) и анализом знаков выражений на различных интервалах.

Определение

Рациональное неравенство имеет вид: $\frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{\square }0\backslash frac\{P(x)\}\{Q(x)\}\; \backslash ,\; \backslash square\; \backslash ,\; 0$, где: $P(x)P(x)$ и $Q(x)Q(x)$ — многочлены, $\mathrm{\square }\backslash square$ — один из знаков: $>>$, , $\ge \backslash geq$, $\le \backslash leq$.

Пример:

Общий алгоритм решения

Шаг 1: Найти область допустимых значений (ОДЗ)

Определите значения переменной, при которых знаменатель $Q(x)Q(x)$ равен нулю. Эти значения исключаются из ОДЗ, так как деление на ноль невозможно.

Пример:

ОДЗ: $x\mathrm{\ne }2x\; \backslash neq\; 2$.

Шаг 2: Найти нули числителя и знаменателя

Решите уравнения:

Эти значения разделят числовую ось на интервалы.

Пример:

Интервалы: $(-\mathrm{\infty },-1)(-\backslash infty,\; -1)$, $(-1,2)(-1,\; 2)$, $(2,\mathrm{\infty })(2,\; \backslash infty)$.

Шаг 3: Определить знак на каждом интервале

Подставьте произвольное значение из каждого интервала в неравенство, чтобы определить знак на данном интервале.

Пример: Для $\frac{x+1}{x-2}>0\backslash frac\{x\; +\; 1\}\{x\; -\; 2\}\; >\; 0$:

• При $x=-2x\; =\; -2$ (из $(-\mathrm{\infty },-1)(-\backslash infty,\; -1)$): $\frac{-2+1}{-2-2}=\frac{-1}{-4}>0\backslash frac\{-2\; +\; 1\}\{-2\; -\; 2\}\; =\; \backslash frac\{-1\}\{-4\}\; >\; 0$.

• При $x=0x\; =\; 0$ (из $(-1,2)(-1,\; 2)$): .

• При $x=3x\; =\; 3$ (из $(2,\mathrm{\infty })(2,\; \backslash infty)$): $\frac{3+1}{3-2}=\frac{4}{1}>0\backslash frac\{3\; +\; 1\}\{3\; -\; 2\}\; =\; \backslash frac\{4\}\{1\}\; >\; 0$.

Шаг 4: Записать решение

Выберите интервалы, где выражение удовлетворяет знаку неравенства. Учитывайте ОДЗ и включение точек, если неравенство $\ge \backslash geq$ или $\le \backslash leq$.

Пример:

Решение:

Методы решения

1. Метод интервалов

Применяется для рациональных неравенств:

1. Найдите нули числителя и знаменателя.
2. Разделите числовую ось на интервалы.
3. Определите знак на каждом интервале.

Пример:

Решение:

1. Нули: $x-3=0\Rightarrow x=3x\; -\; 3\; =\; 0\; \backslash ,\; \backslash Rightarrow\; \backslash ,\; x\; =\; 3$, $x+2=0\Rightarrow x=-2x\; +\; 2\; =\; 0\; \backslash ,\; \backslash Rightarrow\; \backslash ,\; x\; =\; -2$.

2. Интервалы: $(-\mathrm{\infty },-2)(-\backslash infty,\; -2)$, $(-2,3)(-2,\; 3)$, $(3,\mathrm{\infty })(3,\; \backslash infty)$.

3. Знаки:

   • $(-\mathrm{\infty },-2)(-\backslash infty,\; -2)$: $(--)\mathrm{/}(-)>0(-\; -)/(-)\; >\; 0$.
   • $(-2,3)(-2,\; 3)$: .
   • $(3,\mathrm{\infty })(3,\; \backslash infty)$: $(++)\mathrm{/}(+)>0(+\; +)/(+)\; >\; 0$.

4. Ответ:

   $x\in [-2,3]\mathrm{.}x\; \backslash in\; [-2,\; 3].$

2. Логарифмическое преобразование

Если неравенство содержит логарифмы, можно преобразовать их в рациональные выражения:

Особые случаи

1. Равенство нулю Если $\frac{P(x)}{Q(x)}=0\backslash frac\{P(x)\}\{Q(x)\}\; =\; 0$, то $P(x)=0P(x)\; =\; 0$, а $Q(x)\mathrm{\ne }0Q(x)\; \backslash neq\; 0$.

2. Нет решений Если числитель и знаменатель одного знака:

Решений нет, так как дробь всегда положительна.

Примеры из жизни

1. Физика:

   • Закон движения: $\frac{s}{t}>v\backslash frac\{s\}\{t\}\; >\; v$.

2. Экономика:

   • Отношение прибыли к затратам: $\frac{R}{C}>k\backslash frac\{R\}\{C\}\; >\; k$.

3. Инженерия:

   • Сравнение коэффициентов эффективности.

Задачи для закрепления

1. Решите неравенство:

   $\frac{x+2}{x-3}\ge 0.\backslash frac\{x\; +\; 2\}\{x\; -\; 3\}\; \backslash geq\; 0.$

2. Найдите $xx$:

   $\frac{x^2-4}{x+1}>0.\backslash frac\{x^2\; -\; 4\}\{x\; +\; 1\}\; >\; 0.$

3. Упростите и решите:

   $\frac{x}{x-2}\le \frac{2}{x-2}\mathrm{.}\backslash frac\{x\}\{x\; -\; 2\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{2\}\{x\; -\; 2\}.$

4. Постройте график решения:

   $\frac{x-1}{x^2-4}>0.\backslash frac\{x\; -\; 1\}\{x^2\; -\; 4\}\; >\; 0.$