Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения — это уравнения, содержащие переменные под знаком корня. Решение таких уравнений связано с использованием методов возведения в степень и проверки условий на допустимые значения.

Определение

Иррациональное уравнение записывается в виде: $\sqrt{f(x)}=g(x)\backslash sqrt\{f(x)\}\; =\; g(x)$, где $f(x)f(x)$ и $g(x)g(x)$ — выражения, содержащие переменные.

Пример:

Общий алгоритм решения

Шаг 1: Найти область допустимых значений (ОДЗ)

Убедитесь, что подкоренное выражение $f(x)\ge 0f(x)\; \backslash geq\; 0$.

Пример:

Шаг 2: Возведение в степень

Возведите обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня.

Пример:

Шаг 3: Решение уравнения

Решите уравнение, полученное после возведения в квадрат.

Пример:

Шаг 4: Проверка корней

Проверьте корни, чтобы исключить посторонние (те, которые не удовлетворяют исходному уравнению).

Пример:

Методы решения

Уравнения с одним корнем

Пример:

Решение:

Уравнения с несколькими корнями

Пример:

Решение:

1. Выразите один из корней: $\sqrt{x-4}=4-\sqrt{x}\mathrm{.}\backslash sqrt\{x\; -\; 4\}\; =\; 4\; -\; \backslash sqrt\{x\}.$

2. Возведите обе части в квадрат: $(\sqrt{x-4}{)}^2=(4-\sqrt{x}{)}^2\mathrm{.}(\backslash sqrt\{x\; -\; 4\})^2\; =\; (4\; -\; \backslash sqrt\{x\})^2.$

   • После упрощения: $x-4=16-8\sqrt{x}+x\mathrm{.}x\; -\; 4\; =\; 16\; -\; 8\backslash sqrt\{x\}\; +\; x.$

3. Упростите и решите: $8\sqrt{x}=20\Rightarrow \sqrt{x}=2.5\Rightarrow x=\mathrm{6.25.}8\backslash sqrt\{x\}\; =\; 20\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; \backslash sqrt\{x\}\; =\; 2.5\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; 6.25.$

Иррациональные уравнения с параметрами

Пример:

Решение:

• Условие: $ax+b\ge 0ax\; +\; b\; \backslash geq\; 0$, $c\ge 0c\; \backslash geq\; 0$.

• Возведение в квадрат: $ax+b=c^2\Rightarrow x=\frac{c^2-b}{a}\mathrm{.}ax\; +\; b\; =\; c^2\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; \backslash frac\{c^2\; -\; b\}\{a\}.$

Уравнения с корнем в знаменателе

Пример:

Решение:

1. Перенесите в степень:$\sqrt{x+1}=\frac{1}{2}\mathrm{.}\backslash sqrt\{x\; +\; 1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}.$
2. Возведите обе части в квадрат:$x+1=\frac{1}{4}\Rightarrow x=-\frac{3}{4}\mathrm{.}x\; +\; 1\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; -\backslash frac\{3\}\{4\}.$

Примеры из жизни

1. Физика:
   • Расчёт времени свободного падения:

2. Геометрия:
   • Нахождение диагонали квадрата:

3. Экономика:
   • Расчёт квадратных пропорций.

Задачи для закрепления

1. Решите уравнение:

   $\sqrt{x-3}=5.\backslash sqrt\{x\; -\; 3\}\; =\; 5.$

2. Найдите $xx$:

   $\sqrt{x}+2=6.\backslash sqrt\{x\}\; +\; 2\; =\; 6.$

3. Упростите и решите:

   $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=4.\backslash sqrt\{x\; +\; 1\}\; +\; \backslash sqrt\{x\; -\; 1\}\; =\; 4.$

4. Решите уравнение с параметром:

   $\sqrt{2x+a}=b\mathrm{.}\backslash sqrt\{2x\; +\; a\}\; =\; b.$