Рациональные уравнения

Рациональные уравнения — это уравнения, содержащие дроби, числитель и знаменатель которых могут быть многочленами. Такие уравнения часто встречаются в задачах физики, экономики и инженерии.

Определение

Рациональное уравнение имеет вид: $\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{R(x)}{S(x)}\backslash frac\{P(x)\}\{Q(x)\}\; =\; \backslash frac\{R(x)\}\{S(x)\}$, где $P(x),Q(x),R(x),S(x)P(x),\; Q(x),\; R(x),\; S(x)$ — многочлены, а знаменатели $Q(x)Q(x)$ и $S(x)\mathrm{\ne }0S(x)\; \backslash neq\; 0$.

Пример:

Общий алгоритм решения

Шаг 1: Найти область допустимых значений (ОДЗ)

Определите значения переменных, при которых знаменатель обращается в ноль. Эти значения исключаются из области допустимых значений.

Пример:

ОДЗ: $x\mathrm{\ne }3x\; \backslash neq\; 3$.

Шаг 2: Умножение на общий знаменатель

Умножьте обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей. Это избавляет уравнение от дробей.

Пример:

Общий знаменатель: $2x2x$. Умножаем:

Шаг 3: Решение уравнения

Решите получившееся уравнение (линейное, квадратное или другого типа).

Шаг 4: Проверка корней

Проверьте корни на соответствие ОДЗ. Если корень нарушает условие ОДЗ, он исключается.

Пример:

ОДЗ: $x\mathrm{\ne }2,x\mathrm{\ne }-2x\; \backslash neq\; 2,\; x\; \backslash neq\; -2$.

Типы рациональных уравнений

Простые уравнения с одной дробью

Пример:

Решение:

Уравнения с несколькими дробями

Пример:

Общий знаменатель: $xx$. Умножаем:

Рациональные уравнения с параметрами

Пример:

Решение:

Уравнения с дробями в числителе и знаменателе

Пример:

Общий знаменатель: $(x-1)(x+1)(x\; -\; 1)(x\; +\; 1)$. Решение:

Графическое решение

Графики дробно-рациональных функций часто имеют асимптоты. Точки пересечения графиков левой и правой частей уравнения дают решения.

Пример:

График показывает решение $x=\frac{1}{2}x\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$.

Примеры из жизни

1. Физика:

   • Закон сопротивления: $R=\frac{U}{I}R\; =\; \backslash frac\{U\}\{I\}$.

2. Экономика:

   • Формулы затрат: $C=\frac{P}{Q}C\; =\; \backslash frac\{P\}\{Q\}$.

3. Инженерия:

   • Расчёты с дробными зависимостями.

Задачи для закрепления

1. Решите уравнение:

   $\frac{3}{x}+2=5.\backslash frac\{3\}\{x\}\; +\; 2\; =\; 5.$

2. Найдите область допустимых значений и решите:

   $\frac{x}{x-1}=\frac{2}{x+2}\mathrm{.}\backslash frac\{x\}\{x\; -\; 1\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{x\; +\; 2\}.$

3. Упростите:

   $\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}=3.\backslash frac\{1\}\{x\}\; +\; \backslash frac\{2\}\{x\; +\; 1\}\; =\; 3.$

4. Решите уравнение с параметром:

   $\frac{a}{x}=b\mathrm{.}\backslash frac\{a\}\{x\}\; =\; b.$