Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение второй степени, в котором переменная возводится в квадрат. Эти уравнения часто встречаются в алгебре, геометрии и физике при описании различных зависимостей.

Определение

Общий вид квадратного уравнения: $a{x}^2+bx+c=0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0$, где: $a,b,ca,\; b,\; c$ — коэффициенты (числа), $xx$ — переменная, $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$ (иначе уравнение становится линейным).

Пример:

Решение квадратных уравнений

Формула корней

Если дискриминант $D=b^2-4ac\ge 0D\; =\; b^2\; -\; 4ac\; \backslash geq\; 0$, то уравнение имеет корни, которые находятся по формуле:

• Если $D>0D\; >\; 0$, уравнение имеет два различных корня.

• Если $D=0D\; =\; 0$, уравнение имеет один корень (двукратный).

• Если , уравнение не имеет решений в действительных числах.

Пример:

Корни:

Разложение на множители

Если уравнение можно представить в виде произведения двух множителей:

где $x_{1}x\_1$ и $x_{2}x\_2$ — корни.

Пример:

Метод выделения полного квадрата

Преобразуем уравнение в вид:

затем решаем квадратное уравнение.

Пример:

Выделим полный квадрат:

Решение:

Особые случаи

1. Неполные квадратные уравнения:
   • Если $c=0c\; =\; 0$:

• Если $b=0b\; =\; 0$:

2. Квадратные уравнения с параметрами: Решение зависит от значений параметров $a,b,ca,\; b,\; c$.

Графическое представление

Графиком квадратного уравнения является парабола:

• Ветви вверх, если $a>0a\; >\; 0$.

• Ветви вниз, если .

• Вершина параболы:

  $x_{\text{вершина}}=-\frac{b}{2a}\mathrm{.}x\_\{\backslash text\{вершина\}\}\; =\; -\backslash frac\{b\}\{2a\}.$

Пример: Для $y=x^2-4x+3y\; =\; x^2\; -\; 4x\; +\; 3$:

• Вершина: $x=\frac{-(-4)}{2\cdot 1}=2x\; =\; \backslash frac\{-(-4)\}\{2\; \backslash cdot\; 1\}\; =\; 2$.
• Парабола проходит через $(3,0)(3,\; 0)$ и $(1,0)(1,\; 0)$.

Примеры из жизни

1. Физика:
   • Формула высоты при свободном падении:

2. Геометрия:

   • Задачи на нахождение площадей.

3. Экономика:

   • Оптимизация функций прибыли и затрат.

Задачи для закрепления

1. Найдите корни уравнения:

   $x^2-7x+10=0.x^2\; -\; 7x\; +\; 10\; =\; 0.$

2. Решите уравнение разложением на множители:

   $x^2-4x=0.x^2\; -\; 4x\; =\; 0.$

3. Постройте график функции:

   $y=x^2-6x+8.y\; =\; x^2\; -\; 6x\; +\; 8.$

4. Решите квадратное уравнение с параметром:

   $x^2-2px+p^2=0.x^2\; -\; 2px\; +\; p^2\; =\; 0.$