Линейные уравнения и их системы

Линейное уравнение — это уравнение, которое можно записать в общем виде: $a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=b,a\_1\; x\_1\; +\; a\_2\; x\_2\; +\; \backslash dots\; +\; a\_n\; x\_n\; =\; b,$ где: $x_1,x_2,\dots ,x_{n}x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_n$ — переменные, $a_1,a_2,\dots ,a_{n}a\_1,\; a\_2,\; \backslash dots,\; a\_n$ — коэффициенты, которые являются известными числами, $bb$ — свободный член.

Если $n=1n\; =\; 1$, то уравнение имеет вид: $a_1{x}_1=b,a\_1\; x\_1\; =\; b,$ и называется линейным уравнением с одной переменной.

Если $n>1n\; >\; 1$, то уравнение называется линейным уравнением с несколькими переменными.

Свойства линейного уравнения

1. Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая линия.
2. Линейное уравнение всегда имеет либо одно решение, либо бесконечное множество решений, либо не имеет решений вовсе.
3. Решением линейного уравнения является набор значений переменных, при которых выполняется равенство.

Линейные уравнения с одной переменной

Пример:

Решим уравнение:

Решение:

1. Переносим свободный член:

   $3x=14-5,3x\; =\; 14\; -\; 5,$$3x=9.3x\; =\; 9.$

2. Делим обе стороны на $33$:

   $x=3.x\; =\; 3.$

Ответ: $x=3x\; =\; 3$.

Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений — это совокупность двух или более линейных уравнений, записанных в виде:

где: $x_1,x_2,\dots ,x_{n}x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_n$ — переменные, $a_{ij}a\_\{ij\}$ — коэффициенты, $b_{i}b\_i$ — свободные члены.

Методы решения систем линейных уравнений

Метод подстановки

В этом методе выражают одну переменную через другую из одного уравнения, а затем подставляют это выражение в другие уравнения.

Пример: Решим систему:

Решение:

1. Выразим $yy$ из первого уравнения:

   $y=5-x\mathrm{.}y\; =\; 5\; -\; x.$

2. Подставим $yy$ во второе уравнение:

   $2x-(5-x)=1,2x\; -\; (5\; -\; x)\; =\; 1,$$2x-5+x=1,2x\; -\; 5\; +\; x\; =\; 1,$$3x=6,3x\; =\; 6,$$x=2.x\; =\; 2.$

3. Найдём $yy$:

   $y=5-x=5-2=3.y\; =\; 5\; -\; x\; =\; 5\; -\; 2\; =\; 3.$

Ответ: $x=2x\; =\; 2$, $y=3y\; =\; 3$.

Метод сложения

В этом методе складывают или вычитают уравнения так, чтобы исключить одну из переменных.

Пример: Решим систему:

Решение:

1. Складываем уравнения, чтобы исключить $yy$:

   $(2x+y)+(3x-y)=7+8,(2x\; +\; y)\; +\; (3x\; -\; y)\; =\; 7\; +\; 8,$$5x=15,5x\; =\; 15,$$x=3.x\; =\; 3.$

2. Подставляем $xx$ в первое уравнение:

   $2(3)+y=7,2(3)\; +\; y\; =\; 7,$$6+y=7,6\; +\; y\; =\; 7,$$y=1.y\; =\; 1.$

Ответ: $x=3x\; =\; 3$, $y=1y\; =\; 1$.

Метод Крамера

Для решения систем линейных уравнений с $nn$ переменными используют определители. Если система имеет вид:

то решения находятся по формулам:

где:

• $\mathrm{\Delta }\backslash Delta$ — определитель основной матрицы,
• ${\mathrm{\Delta }}_1\backslash Delta\_1$, ${\mathrm{\Delta }}_2\backslash Delta\_2$ — определители, полученные заменой соответствующих столбцов матрицы на столбец свободных членов.

Метод Гаусса

Этот метод состоит в последовательном исключении переменных из уравнений системы с использованием элементарных преобразований.

Примеры использования

Пример 1: Однородная система

Рассмотрим систему:

Решением этой системы является $x=0x\; =\; 0$, $y=0y\; =\; 0$, $z=0z\; =\; 0$ или бесконечное множество решений, если ранг матрицы коэффициентов меньше числа переменных.

Заключение

Линейные уравнения и их системы широко применяются в математике, физике, экономике и других науках. Существует несколько методов их решения, включая подстановку, сложение, метод Крамера и метод Гаусса. Важно правильно выбирать метод в зависимости от типа системы и условий задачи.