Линейные уравнения

Линейное уравнение — это уравнение первой степени, где переменная встречается только в первой степени, и её коэффициенты — числа. Линейные уравнения являются основой алгебры и используются для описания простых зависимостей между величинами.

Определение

Линейное уравнение записывается в общем виде: $ax+b=0ax\; +\; b\; =\; 0$, где: $aa$ и $bb$ — коэффициенты (числа), $xx$ — переменная, $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$.

Пример:

Решение линейного уравнения

Алгоритм решения

1. Перенесите все члены с переменной в одну часть уравнения, а свободные члены — в другую.
2. Упростите уравнение.
3. Разделите на коэффициент перед переменной.

Пример:

Свойства линейных уравнений

1. Уравнение имеет одно решение, если $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$.

2. Уравнение вида $0x+b=00x\; +\; b\; =\; 0$ имеет бесконечно много решений (тождество).

3. Уравнение вида $0x+b=c0x\; +\; b\; =\; c$, где $b\mathrm{\ne }cb\; \backslash neq\; c$, решений не имеет (противоречие).

Примеры

Пример 1: Простое линейное уравнение

Решите уравнение:

Решение:

Пример 2: Линейное уравнение с дробями

Решите уравнение:

Решение:

Пример 3: Линейное уравнение с параметром

Решите уравнение:

Решение:

• Если $a\mathrm{\ne }-1a\; \backslash neq\; -1$, то $x=\frac{2}{a+1}x\; =\; \backslash frac\{2\}\{a\; +\; 1\}$.
• Если $a=-1a\; =\; -1$, уравнение не имеет решения.

Графическое представление

Графиком линейного уравнения с одной переменной является точка на числовой оси. График уравнения $ax+by+c=0ax\; +\; by\; +\; c\; =\; 0$ в двух переменных — прямая на плоскости.

Пример для уравнения $2x+y=42x\; +\; y\; =\; 4$:

• При $x=0x\; =\; 0$: $y=4y\; =\; 4$ (точка $(0,4)(0,\; 4)$).
• При $y=0y\; =\; 0$: $x=2x\; =\; 2$ (точка $(2,0)(2,\; 0)$).
• График — прямая через точки $(0,4)(0,\; 4)$ и $(2,0)(2,\; 0)$.

Применение

1. Физика:

   • Уравнения движения: $s=vts\; =\; vt$.

2. Экономика:

   • Расчёт доходов и расходов: $P=ax+bP\; =\; ax\; +\; b$.

3. Геометрия:

   • Уравнение прямой: $y=kx+by\; =\; kx\; +\; b$.

Задачи для закрепления

1. Решите уравнение:

   $4x-5=3.4x\; -\; 5\; =\; 3.$

2. Найдите $xx$:

   $\frac{2x}{3}+1=5.\backslash frac\{2x\}\{3\}\; +\; 1\; =\; 5.$

3. Решите уравнение с параметром:

   $(a-2)x=6.(a\; -\; 2)x\; =\; 6.$

4. Постройте график уравнения:

   $3x+2y=6.3x\; +\; 2y\; =\; 6.$