Квадратные уравнения (8 класс)

Введение

Квадратное уравнение — это уравнение вида: $a{x}^2+bx+c=0ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0$, где: $aa$, $bb$, $cc$ — числа, называемые коэффициентами, $xx$ — переменная, $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$ (иначе уравнение станет линейным).

Пример:

Части квадратного уравнения

Коэффициенты:

$aa$ — коэффициент при $x^{2}x^2$ (старший коэффициент),

$bb$ — коэффициент при $xx$,

$cc$ — свободный член.

Пример:

В уравнении $3x^2+5x-2=03x^2\; +\; 5x\; -\; 2\; =\; 0$ коэффициенты: $a=3a\; =\; 3$, $b=5b\; =\; 5$, $c=-2c\; =\; -2$.

Корни уравнения: Значения $xx$, при которых уравнение становится верным.

Формула для решения квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения находятся с помощью дискриминанта $DD$:

• Если $D>0D\; >\; 0$, уравнение имеет два различных корня: $x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\mathrm{.}x\_1\; =\; \backslash frac\{-b\; +\; \backslash sqrt\{D\}\}\{2a\},\; \backslash quad\; x\_2\; =\; \backslash frac\{-b\; -\; \backslash sqrt\{D\}\}\{2a\}.$

• Если $D=0D\; =\; 0$, уравнение имеет один корень: $x=\frac{-b}{2a}\mathrm{.}x\; =\; \backslash frac\{-b\}\{2a\}.$

• Если , уравнение не имеет действительных корней.

Решение квадратного уравнения: пример

Решим уравнение:

1. Определяем коэффициенты: $a=1a\; =\; 1$, $b=-5b\; =\; -5$, $c=6c\; =\; 6$.

2. Вычисляем дискриминант: $D=b^2-4ac=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1.D\; =\; b^2\; -\; 4ac\; =\; (-5)^2\; -\; 4\; \backslash cdot\; 1\; \backslash cdot\; 6\; =\; 25\; -\; 24\; =\; 1.$

3. Находим корни: $x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{5+1}{2}=3x\_1\; =\; \backslash frac\{-(-5)\; +\; \backslash sqrt\{1\}\}\{2\; \backslash cdot\; 1\}\; =\; \backslash frac\{5\; +\; 1\}\{2\}\; =\; 3$, и $x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{5-1}{2}=2.x\_2\; =\; \backslash frac\{-(-5)\; -\; \backslash sqrt\{1\}\}\{2\; \backslash cdot\; 1\}\; =\; \backslash frac\{5\; -\; 1\}\{2\}\; =\; 2.$

Ответ: $x_1=3,x_2=2.x\_1\; =\; 3,\; \backslash ,\; x\_2\; =\; 2.$

Неполные квадратные уравнения

Тип 1: Без свободного члена ($c=0c\; =\; 0$)

Решение:

Пример:

Решение:

Тип 2: Без коэффициента $bb$ ($b=0b\; =\; 0$)

Решение:

Корни существуют, если $-\frac{c}{a}\ge 0-\backslash frac\{c\}\{a\}\; \backslash geq\; 0$.

Пример:

Решение:

Графическое решение

Графиком квадратного уравнения является парабола:

• Если $a>0a\; >\; 0$, ветви направлены вверх.
• Если , ветви направлены вниз.

Корни уравнения — это точки пересечения параболы с осью $xx$.

Пример: Для $y=x^2-5x+6y\; =\; x^2\; -\; 5x\; +\; 6$ парабола пересекает ось $xx$ в точках $x=2x\; =\; 2$ и $x=3x\; =\; 3$.

Примеры из жизни

1. Физика:
   • Формула свободного падения:

2. Геометрия:
   • Площадь квадрата:

3. Экономика:
   • Оптимизация функций затрат или прибыли.

Задачи для закрепления

1. Решите уравнение:

   $x^2-4x+3=0.x^2\; -\; 4x\; +\; 3\; =\; 0.$

2. Найдите корни:

   $2x^2-8x=0.2x^2\; -\; 8x\; =\; 0.$

3. Определите, имеет ли уравнение корни:

   $x^2+1=0.x^2\; +\; 1\; =\; 0.$

4. Постройте график функции:

   $y=x^2-6x+8.y\; =\; x^2\; -\; 6x\; +\; 8.$