Виды одночленов

Одночлен — это базовый элемент алгебры, представляющий собой произведение числового коэффициента и переменных, возведённых в степени. Одночлены используются для построения более сложных алгебраических выражений, таких как многочлены.

Определение

Одночлен — это алгебраическое выражение вида: $k\cdot x_1^{n_1}\cdot x_2^{n_2}\cdots x_m^{n_m},k\; \backslash cdot\; x\_1^\{n\_1\}\; \backslash cdot\; x\_2^\{n\_2\}\; \backslash cdots\; x\_m^\{n\_m\},$ где: $kk$ — числовой коэффициент (целое, дробное или действительное число), $x_1,x_2,\dots ,x_{m}x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_m$ — переменные, $n_1,n_2,\dots ,n_{m}n\_1,\; n\_2,\; \backslash dots,\; n\_m$ — натуральные степени (включая $00$).

Примеры:

• $5x^{2}5x^2$, $-3a^{3}b-3a^3b$, $\frac{1}{2}xy\backslash frac\{1\}\{2\}xy$, $77$.

Свойства одночлена

1. Числовой коэффициент:

   • Число, стоящее перед переменными.
   • Пример: в $4x^{3}4x^3$, коэффициент равен $44$.

2. Степень одночлена:

   • Сумма всех показателей степеней переменных.
   • Пример: в $2x^3{y}^{2}2x^3y^2$, степень одночлена равна $3+2=53\; +\; 2\; =\; 5$.

3. Свободный одночлен:

   • Одночлен без переменных.
   • Пример: $77$.

Операции с одночленами

1. Сложение и вычитание:
   • Одночлены можно складывать или вычитать только в том случае, если они одинаковы (имеют одинаковые переменные с одинаковыми степенями).
   • Пример:

2. Умножение:
   • Коэффициенты перемножаются, а степени переменных складываются.
   • Пример:

3. Деление:
   • Коэффициенты делятся, а степени переменных вычитаются.
   • Пример:

4. Возведение в степень:
   • Коэффициент возводится в степень, показатели переменных умножаются на степень.
   • Пример:

Типы одночленов

1. Числовой одночлен:

   • Одночлен, не содержащий переменных.
   • Пример: $7,-3,\frac{1}{2}7,\; -3,\; \backslash frac\{1\}\{2\}$.

2. Переменный одночлен:

   • Одночлен, содержащий одну или несколько переменных.
   • Пример: $4x^3,-2a{b}^{2}4x^3,\; -2ab^2$.

Примеры из жизни

1. Физика:

   • Закон Ньютона: $F=maF\; =\; ma$ (одночлен $mama$).

2. Геометрия:

   • Площадь квадрата: $S=a^{2}S\; =\; a^2$.

3. Экономика:

   • Формулы расчёта процентов: $P=PrtP\; =\; Prt$.

Задачи для закрепления

1. Найдите коэффициент и степень одночлена:

   • $3x^4{y}^{2}3x^4y^2$.
   • $-5a^2{b}^3-5a^2b^3$.

2. Выполните умножение:

   $(2x^2)\cdot (3x^3),(-4ab)\cdot (5a^2{b}^3)\mathrm{.}(2x^2)\; \backslash cdot\; (3x^3),\; \backslash quad\; (-4ab)\; \backslash cdot\; (5a^2b^3).$

3. Выполните деление:

   $\frac{8x^6}{4x^2},\frac{-10a^3{b}^2}{2ab}\mathrm{.}\backslash frac\{8x^6\}\{4x^2\},\; \backslash quad\; \backslash frac\{-10a^3b^2\}\{2ab\}.$

4. Возведите одночлен в степень:

   $(2x^3{)}^2,(-3a^{2}b{)}^3\mathrm{.}(2x^3)^2,\; \backslash quad\; (-3a^2b)^3.$