Многочлен

Многочлен — это алгебраическое выражение, которое состоит из суммы или разности нескольких мономов. Многочлены широко используются в алгебре для моделирования, анализа функций, нахождения корней уравнений и решения других задач.

Определение

Многочлен — это алгебраическое выражение вида: $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,P(x)\; =\; a\_nx^n\; +\; a\_\{n-1\}x^\{n-1\}\; +\; \backslash dots\; +\; a\_1x\; +\; a\_0,$ где: $a_n,a_{n-1},\dots ,a_{0}a\_n,\; a\_\{n-1\},\; \backslash dots,\; a\_0$ — коэффициенты многочлена, $xx$ — переменная, $nn$ — степень многочлена, $a_n\mathrm{\ne }0a\_n\; \backslash neq\; 0$.

Примеры:

• $P(x)=x^3-4x+6P(x)\; =\; x^3\; -\; 4x\; +\; 6$

• $Q(a,b)=3a^{2}b+2a{b}^2-5Q(a,\; b)\; =\; 3a^2b\; +\; 2ab^2\; -\; 5$

Части многочлена

1. Члены многочлена:

   • Отдельные мономы, составляющие многочлен.
   • Пример: у $P(x)=x^3-4x+6P(x)\; =\; x^3\; -\; 4x\; +\; 6$ члены: $x^3,-4x,6x^3,\; -4x,\; 6$.

2. Коэффициенты:

   • Числа, стоящие перед переменными.
   • Пример: в $2x^2-3x+52x^2\; -\; 3x\; +\; 5$ коэффициенты: $2,-3,52,\; -3,\; 5$.

3. Свободный член:

   • Член многочлена, не содержащий переменную.
   • Пример: в $x^3-4x+6x^3\; -\; 4x\; +\; 6$, свободный член: $66$.

4. Степень многочлена:

   • Наивысшая степень переменной в многочлене.
   • Пример: в $x^4+3x^2-7xx^4\; +\; 3x^2\; -\; 7x$, степень равна $44$.

Типы многочленов

1. Одночлен: многочлен из одного члена.

   • Пример: $5x^{3}5x^3$.

2. Двучлен (бином): многочлен из двух членов.

   • Пример: $x^2-3xx^2\; -\; 3x$.

3. Трёхчлен (трином): многочлен из трёх членов.

   • Пример: $x^2+5x+6x^2\; +\; 5x\; +\; 6$.

4. Многочлен общего вида: состоит из нескольких членов.

   • Пример: $x^4-3x^3+2x^2-x+7x^4\; -\; 3x^3\; +\; 2x^2\; -\; x\; +\; 7$.

Арифметические операции с многочленами

1. Сложение и вычитание:
   • Складываются или вычитаются коэффициенты одноимённых членов.
   • Пример:

2. Умножение:
   • Каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого многочлена.
   • Пример:

3. Деление:
   • Деление многочлена на многочлен меньшей степени выполняется методом деления “уголком”.
   • Пример:

Формулы сокращённого умножения

1. Квадрат суммы: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\mathrm{.}(a\; +\; b)^2\; =\; a^2\; +\; 2ab\; +\; b^2.$

2. Квадрат разности: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2\mathrm{.}(a\; -\; b)^2\; =\; a^2\; -\; 2ab\; +\; b^2.$

3. Разность квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)\mathrm{.}a^2\; -\; b^2\; =\; (a\; -\; b)(a\; +\; b).$

4. Куб суммы: $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\mathrm{.}(a\; +\; b)^3\; =\; a^3\; +\; 3a^2b\; +\; 3ab^2\; +\; b^3.$

5. Куб разности: $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3\mathrm{.}(a\; -\; b)^3\; =\; a^3\; -\; 3a^2b\; +\; 3ab^2\; -\; b^3.$

Нахождение корней многочлена

Корень многочлена — это значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль:

Примеры:

1. Для $x^2-5x+6=0x^2\; -\; 5x\; +\; 6\; =\; 0$ корни:

   $x_1=2,x_2=3.x\_1\; =\; 2,\; \backslash quad\; x\_2\; =\; 3.$

2. Для $x^3-3x^2-4x+12=0x^3\; -\; 3x^2\; -\; 4x\; +\; 12\; =\; 0$ корни находятся методом деления многочлена на $x-ax\; -\; a$, где $aa$ — предполагаемый корень.

Примеры из жизни

1. Физика:

   • Уравнения движения содержат многочлены: $s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}s\; =\; v\_0t\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}at^2$.

2. Экономика:

   • Расчёт сложных процентов с использованием многочленов.

3. Инженерия:

   • Расчёт сопротивления материалов с помощью многочленных уравнений.

Задачи для закрепления

1. Найдите степень и свободный член многочлена:

   $x^4-2x^3+3x^2-5x+7.x^4\; -\; 2x^3\; +\; 3x^2\; -\; 5x\; +\; 7.$

2. Выполните сложение:

   $(3x^2+5x-7)+(2x^2-3x+4)\mathrm{.}(3x^2\; +\; 5x\; -\; 7)\; +\; (2x^2\; -\; 3x\; +\; 4).$

3. Упростите произведение:

   $(x+2)(x^2-x+3)\mathrm{.}(x\; +\; 2)(x^2\; -\; x\; +\; 3).$

4. Найдите корни:

   $x^2-4x+4=0.x^2\; -\; 4x\; +\; 4\; =\; 0.$