Бином

Бином — это алгебраическое выражение, состоящее из двух членов, соединённых знаком сложения или вычитания. Биномы широко применяются в алгебре для упрощения выражений, вычислений, а также в решении уравнений и задач.

Определение

Бином — это алгебраическое выражение вида: $a+b\text{или}a-ba\; +\; b\; \backslash quad\; \backslash text\{или\}\; \backslash quad\; a\; -\; b$, где: $aa$ и $bb$ — члены бинома, которые могут быть числами, переменными или их комбинацией.

Примеры:

• $x+5x\; +\; 5$
• $2a-3b2a\; -\; 3b$
• $m^2+nm^2\; +\; n$

Свойства бинома

1. Бином состоит из двух членов.

2. Члены бинома могут быть:

   • Одночленами: $2x+32x\; +\; 3$.
   • Многочленами: $(a+b)-(c-d)(a\; +\; b)\; -\; (c\; -\; d)$.

3. Операции с биномами часто включают применение формул сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения для бинома

1. Квадрат суммы: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\mathrm{.}(a\; +\; b)^2\; =\; a^2\; +\; 2ab\; +\; b^2.$

Пример: $(x+3{)}^2=x^2+6x+9.(x\; +\; 3)^2\; =\; x^2\; +\; 6x\; +\; 9.$

2. Квадрат разности: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2\mathrm{.}(a\; -\; b)^2\; =\; a^2\; -\; 2ab\; +\; b^2.$

Пример: $(x-4{)}^2=x^2-8x+16.(x\; -\; 4)^2\; =\; x^2\; -\; 8x\; +\; 16.$

3. Разность квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)\mathrm{.}a^2\; -\; b^2\; =\; (a\; -\; b)(a\; +\; b).$

Пример: $x^2-9=(x-3)(x+3)\mathrm{.}x^2\; -\; 9\; =\; (x\; -\; 3)(x\; +\; 3).$

4. Куб суммы: $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\mathrm{.}(a\; +\; b)^3\; =\; a^3\; +\; 3a^2b\; +\; 3ab^2\; +\; b^3.$

Пример: $(x+2{)}^3=x^3+6x^2+12x+8.(x\; +\; 2)^3\; =\; x^3\; +\; 6x^2\; +\; 12x\; +\; 8.$

5. Куб разности: $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3\mathrm{.}(a\; -\; b)^3\; =\; a^3\; -\; 3a^2b\; +\; 3ab^2\; -\; b^3.$

Пример:$(x-3{)}^3=x^3-9x^2+27x-27.(x\; -\; 3)^3\; =\; x^3\; -\; 9x^2\; +\; 27x\; -\; 27.$

Арифметические операции с биномиальными выражениями

Сложение и вычитание

Для сложения или вычитания биномов объединяются одинаковые члены.

Пример:

Умножение

Для умножения биномов применяется распределительное свойство.

Пример:

Возведение в степень

Применяются формулы сокращённого умножения.

Пример:

Примеры из жизни

1. Физика:

   • Формулы расчёта движений и энергий содержат биномиальные выражения.

2. Геометрия:

   • Площадь прямоугольника $S=(a+b)(c-d)S\; =\; (a\; +\; b)(c\; -\; d)$.

3. Экономика:

   • Формулы расчёта сложных процентов содержат выражения с биномами.

Задачи для закрепления

1. Разложите по формулам сокращённого умножения:

   • $(x+5{)}^2(x\; +\; 5)^2$
   • $(a-4{)}^3(a\; -\; 4)^3$
   • $x^2-25x^2\; -\; 25$.

2. Упростите выражение: -$(2x+3)+(x-5)-(4x+2)\mathrm{.}(2x\; +\; 3)\; +\; (x\; -\; 5)\; -\; (4x\; +\; 2).$

3. Найдите произведение: -$(x+2)(x-3),(a+b)(a-b)\mathrm{.}(x\; +\; 2)(x\; -\; 3),\; \backslash quad\; (a\; +\; b)(a\; -\; b).$