Линейные уравнения (8 класс)

Линейное уравнение — это уравнение, в котором переменная находится в первой степени, а его общий вид: $ax+b=0ax\; +\; b\; =\; 0$, где: $aa$ и $bb$ — числа (коэффициенты), $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$, $xx$ — переменная.

Пример линейного уравнения:

Особенности линейных уравнений

1. Переменная встречается только в первой степени.
2. График линейного уравнения в двух переменных — прямая линия.
3. Решением является одно значение переменной.

Алгоритм решения линейных уравнений

1. Перенесите все члены с переменной в одну сторону, а свободные члены — в другую.
2. Упростите выражение:
   • Раскройте скобки, если они есть.
   • Приведите подобные члены.
3. Решите уравнение, разделив обе части на коэффициент при $xx$.

Примеры

Пример 1: Простое линейное уравнение

Решим уравнение:

Решение:

1. Переносим $33$ в правую часть:$5x=18-3.5x\; =\; 18\; -\; 3.$
2. Вычисляем:$5x=15.5x\; =\; 15.$
3. Делим на $55$:$x=3.x\; =\; 3.$

Ответ:

Пример 2: Линейное уравнение с дробями

Решим уравнение:

Решение:

1. Переносим $-1-1$ в правую часть:$\frac{x}{2}=4+1.\backslash frac\{x\}\{2\}\; =\; 4\; +\; 1.$
2. Вычисляем:$\frac{x}{2}=5.\backslash frac\{x\}\{2\}\; =\; 5.$
3. Умножаем на $22$:$x=10.x\; =\; 10.$

Ответ:

Пример 3: Линейное уравнение с несколькими переменными

Решим уравнение:

Решение:

1. Приводим подобные члены:$(7x-2x)+5=20\Rightarrow 5x+5=20.(7x\; -\; 2x)\; +\; 5\; =\; 20\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; 5x\; +\; 5\; =\; 20.$
2. Переносим $55$ в правую часть:$5x=20-5.5x\; =\; 20\; -\; 5.$
3. Вычисляем:$5x=15.5x\; =\; 15.$
4. Делим на $55$:$x=3.x\; =\; 3.$

Ответ:

Пример 4: Линейное уравнение с отрицательным коэффициентом

Решим уравнение:

Решение:

1. Переносим $77$ в правую часть:$-4x=3-7.-4x\; =\; 3\; -\; 7.$
2. Вычисляем:$-4x=-4.-4x\; =\; -4.$
3. Делим на $-4-4$:$x=1.x\; =\; 1.$

Ответ:

Применение линейных уравнений

1. Физика:

   • Закон движения:$s=vt,v=\frac{s}{t}\mathrm{.}s\; =\; vt,\; \backslash quad\; v\; =\; \backslash frac\{s\}\{t\}.$

2. Экономика:

   • Расчёт прибыли:$P=R-C,\text{где }P\text{ — прибыль, }R\text{ — доход, }C\text{ — затраты.}P\; =\; R\; -\; C,\; \backslash quad\; \backslash text\{где\; \$P\$\; —\; прибыль,\; \$R\$\; —\; доход,\; \$C\$\; —\; затраты.\}$

3. Математика:

   • Расчёт пропорций и решений задач на проценты.

Задачи для закрепления

1. Решите уравнение:

   $4x-9=11.4x\; -\; 9\; =\; 11.$

2. Найдите $xx$:

   $\frac{x-2}{3}=5.\backslash frac\{x\; -\; 2\}\{3\}\; =\; 5.$

3. Решите уравнение:

   $-2x+6=0.-2x\; +\; 6\; =\; 0.$

4. Решите уравнение с несколькими переменными: $$ 10x - 3x